Sur l’équation de Clairaut et les équations plus générales. 
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cette illégalité aura lieu pour toutes les valeurs de w, à partir de 2, et pour les mêmes 
valeurs de n on aura 
< 0 „- 
On en conclut que les séries (42) seront absolument et uniformément convergentes 
dans l’intervalle (0,^). 
On voit d’ailleurs que, si l’on entend par la valeur absolue de la fonction 
on aura dans tous les cas 
dKn 
da 
= '(Ta ’ 
le signe de l’égalité se rapportant aux cas où l’on a w = 1 ou w = 1. Mais le cas de m > 1 
se distinguera par cette circonstance que les fonctions 
TT dU fi 
ni da 
seront toujours positives dans l’intervalle (0,A), tandis que, pour m—0, ces fonctions 
pourront changer de signe et, pour m = 1, elles seront toutes identiquement milles. 
22 . Nous venons d’établir, pour les équations (36), l’existence d’une solution de la forme 
H étant une fonction se réduisant pour a = 0 à 1. 
Nous avons d’ailleurs obtenu pour H une expression parfaitement déterminée sous forme 
d’une série toujours convergente. 
Cette série fait voir que, dans le cas de > 1, H sera une fonction croissante de a. 
Quant aux deux autres cas, m — 0 et ш — 1, dans le deuxième on aura H{a)= 1 quel que 
soit a, et dans le premier, H sera une fonction qui pourra croître dans certains intervalles 
et décroître dans d’autres, mais qui, pour des valeurs assez petites de a, sera toujours dé¬ 
croissante, puisque qui est donné pour m = 0 par la formule 
O 
est, dans ce cas, une fonction décroissante de a. 
