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A. Liapounoff. 
23 . Ayant défini une solution des équations (36), nous allons maintenant chercher une 
autre solution indépendante. 
Reportons-nous, à cet effet, à l’équation (37), où nous poserons 
U = аГ-^Н{а). 
Eu attribuant à C une valeur quelconque, différente de zéro, nous pourrons prendre, 
pour la solution requise, toute solution de l’équation (37). 
Cette solution s’exprimera donc par la formule 
> 
d’où l’on voit que, si ou la présente sous la forme 
ar^-^G{a) 
de sorte qu’il viendra 
G {a) = С'а^”''*'‘Я(а) 
la fonction G teudi’a pour « = O vers 
f P аЫа J ^ 
OC 
(2ffn-l)p’ 
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■ et sa dérivée G' sera telle que le produit a G' tendra pour a = 0 vers zéro. 
Dans ce qui suit, ne considérant que le cas de m > 1, nous nous arrêterons, pour la 
fonction G, à un choix parfaitement déterminé que nous allons préciser à l’instant. 
Jusqu’à présent nous n’avons attribué à a que des valeurs appartenant à l’intervalle 
(0,yl). Maintenant nous allons considérer toutes les valeurs positives de a. 
Tout d’abord nous devons compléter la définition de la fonctiou p, qui n’est définie que 
dans l’intervalle (0, Ä), et nous le ferons en admettant que, pour a on a toujours p = 0. 
Cela posé, nous pouvons étendre la fonction H à toutes les valeurs positives de a. 
A cet effet nous remarquons que les équations (36) se réduiront, pour « > à celle-ci : 
— w (w -+-1) г; = 0. 
Donc toute solution de ces équations sera, pour de la forme 
^ ^ —m 
^ = cca Ч- pa , 
a, ß étant des constantes. 
