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A. Liapounofp. 
Doue notre formule se réduira à 
Z 
\2»i 
2m — 2^ 
Pu« 
—W — П 
G 
(2m- 
C(m- 
1)2 
:щ Po« 
—«l- 
et c’est bien la solution de l’équation (2) dans le cas de fF = я car les formules (55) 
donnent 
(la-t- ~^ f P —- (la = f ortVZ« 
2w -H 1 J " fZa 2m -t- 1 J г da J ‘ 
9 
2m -H 1 
a 
G {7n-^-2) 
(2m-+-l) p/ 
Remarquons qu’on peut ne pas supposer l’existence de la dérivée ^, et que, si l’on 
suppose seulement que la fonction est continue dans l’intervalle (0,^), en considé¬ 
rant l’équation (2) comme celle de la forme (18), la formule que nous venons de signaler en 
donnera toujours la solution, à condition de remplacer les intégrales, qui y figurent, par les 
symboles 
g pA(a”*-^'flTF), g p^ià^-^GW). 
0 a 
Remarquons enfin que, si le produit ne tendait pour a = 0 vers aucune limite, 
l’équation (2) ou celle (18) serait impossible. 
Nous nous bornerons à signaler ces résultats sans démonstration, puisqu’ils ne pourront 
trouver d’application dans la théorie de la figure des planètes. 
29. En reprenant nos suppositions ordinaires à l’égard de TF, nous allons maintenant 
signaler quelques conclusions qu’on peut tirer de la formule (56). 
Supposons que TF soit une fonction positive et croissante dans l’intervalle (0, Л), ou 
du moins, que les fonctions TF et dans cet intervalle, ne deviennent jamais négatives. 
Alors la fonction z sera encore positive et croissante dans l’intervalle (0,^). 
Le fait qu’elle sera positive résulte déjà de ce qui a été remarqué au n®lG, car, 
l’équation (2) n’admettant qu’une seule solution, la fonction z définie par la formule (56) 
coïncidera avec la fonction w considérée dans le numéro cité. On voit d’ailleurs que cette 
fonction vérifiera l’inégalité 
prt’ da 
