* 
1. Dans mes travaux que j’ai publiés, depuis l’année 1897, aux Comptes Rendus 
ainsi que dans divers Journaux périodiques, j’ai établi un grand nombre de certaines 
égalités générales, communes à plusieurs systèmes de fonctions orthogonales, et susceptibles 
de nombreuses applications à la solution de divers problèmes importants de l’Analyse 
pure et de la Physique Mathématique. 
Ces recherches, convenablement généralisées, m’ont conduit ensuite à une théorie géné¬ 
rale, à laquelle j’ai donné le nom de la «théorie de fermeture des systèmes de fonctions 
orthogonales». 
Les principes de cette théorie, fondée sur les notions élémentaires de l’Analyse, je les 
ai développes dans mon Memoire receut! «Sur la théorie de fermeture des systèmes de fonc¬ 
tions orthogonales dépendant d’un nombre quelconque de variables», présenté à l’Académie 
des Sciences de St.-Pétersbourg le 4 mai 1911. 
Parmi les applications nombreuses de cette théorie celles qui concernent les polynômes 
de Tchébicheff méritent la plus grande attention sous bien des rapports. 
Elles nous ont permis, entre autres, d’établir une connexion intime entre les théories 
de Tchébicheff et entre certains problèmes fondamentaux de la théorie générale des fonctions 
des variables réelles. 
J’ai démontré, par exemple, dans le Mémoire tout à l’heure cité, que le théorème fon¬ 
damental, connu sous le nom du théorème de Weierstrass, ainsi que le théorème de 
Liouville-Stieltjes résultent comme une simple conséquence de la théorie de fermeture 
appliquée aux polynômes de Tchébicheff. 
Je me suis borné, dans le Mémoire cité, aux résultats les plus généraux, n’ayant pas 
l’intention d’épuiser le champ large des applications possibles de la théorie dont il s’agit, 
mais ces résultats mêmes ainsi que la méthode, qui nous a servi de les déduire, montrent 
avec évidence que mes recherches contiennent assez de données pour en tirer la solution de 
plusieurs autres questions qui se rattachent au problème de la représentation approchée des 
fonctions continues ainsi qu’aux autres problèmes plus ou moins intimement liés avec celui-la. 
San. Фнз.-Мат. Отд. 
1 
