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AV. STE KLO F F. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLEME 
J’ai déjà indiqué quelques applications nouvelles de la théorie de fermeture à divers 
problèmes d’Aualyse qui se rattachent à plusieurs problèmes de la Physique Mathématique 
(dans ime Communication, présentée à l’Académie des Sciences le 7 novembre 1912) ainsi 
qu’au problème du développement des fonctions arbitraires en séries procédant suivant les 
polynômes de Tchébicheff [dans ma Note, publiée au n°2 du «Bulletin de l’Académie des 
Sciences de St.-Pétersbourg» de l’année courante, (1 février 1913)]. 
Je vais en donner maintenant les autres applications non dénuées d’un certain intérêt, 
mais d’abord je ferai quelques remarques d’un caractère bibliographique. 
2. Dans ma Note: «Sur certaines égalités remarquables», insérée aux Comptes Rendus 
le 10 novembre 1902, j’ai démontré la fermeture de quelques suites simples de fonctions 
orthogonales trigonométriques. 
Il y s’agit d'un cas très particulier des fonctions de Sturm-Liouville, définies par 
les équations 
V t "(x) -+- (\p(x) — q(x)) V t (x) = 0, 
F» — 1, V t (a) = 0, 
(0 7i > 0 , H > 0 . (*=o,i,2.) 
F/(6) -4- HV k (b) = 0, 
Si l’on pose, en particulier, 
q(x) = 0, p {x) = 1, h = H= 0, a = 0, h = тс, 
on trouve 
(“) F 0 (x)=y±, V k (x) = J1 cos kx. 
L’équation, que j’appelle maintenant Véquation de fermeture , s’écrira, pour cette suite 
de fonctions V k (x), comme il suit: 
( 2 ) 
où 
(2.) 
TC 
J f 2 (x) dx 
0 
CO 
k=0 
a. 
cos kxdx 
(* = 0 , 1 , 2 ,....) 
et f(x) est une fonction quelconque , assujettie à la seule condition d’être intégrable dans l’in¬ 
tervalle (0, 7t). 
