4 W. STE KL OFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
établies au n n 17 (p. 305) de mou Mémoire: «Problème de refroidissement d’une barre hété¬ 
rogène» (Annales de Toulouse, 1901) et ayant lieu pour toute fonction f(x), admettant la 
dérivée f'(x) assujettie à la seule condition d'être intégrable dans (a, 6); pour en déduire 
l’égalité (4), il suffit seulement de faire usage de ce théorème: 
(C). Si Г équation de fermeture subsiste pour toute fonction, ayant les dérivées successives 
jusqu'il Vordre p (p étant un entier quelconque), elle subsiste nécessairement pour toute fonc¬ 
tion satisfaisant à la seule condition d'être intégrable dans (a, b) l ). 
La démonstration de ce dernier théorème se trouve au u°7 (p. 12) de mon Mémoire: 
«Sur la théorie de fermeture etc.». 
4. Remarquons encore que l’équation (3) et, par suite celle de (2), peut être considérée 
comme un cas très particulier de cette équation générale 
b со 
( 6 ) J p (x) p (i X ) dx = 2 Ak, 
a le—O 
OÙ 
b 
A k = \ï>( x )f( x )4 k { x )dx, . 
«У 
p{x) est une fonction quelconque, positive dans l’intervalle (a, b), f(x) une fonction intégrable, 
фі ОтЬ фг fo)’ • * • *5 ?/ £ (*), . • • • 
est une suite de polynômes de Tchébicheff correspondant à la fonction caractéristique p (x). 
L’égalité (6) a été établie, à l’aide du théorème de Weierstrass, pour la première 
fois dans mon Mémoire: «Sur le développement d’une fonction donnée en séries procédant 
suivant les polynômes de Tchébicheff et, en particulier, suivant les polynômes de Jacobi», 
publié en 1902 dans le T. 125 du «Journal für die reine und angewandte Mathematik». 
La démonstration élémentaire, ne dépendant pas du théorème de Weierstrass, a été donnée 
ensuite dans mon Mémoire récent cité plus haut (1911). 
5. Dans une autre Note: «Sur quelques conséquences de certains développements en 
séries analogues aux développements trigouométriques», publiée aux Comptes Rendus le 
1 décembre 1902 et ne présentant qu’une suite immédiate de ma Note précédente, j’ai 
9 II es l évident que la suppositiou que la dernière dérivée de l’ordre p soit continue dans (a, b ) ne joue au¬ 
cun rôle dans la démonstration du théorème. Il suffit de supposer seulement que f№(x) soit intégrable dans (a, b). 
Rappelons encore que cette démonstration e8t tout à fait indépendante du théorème de Weier strass. 
