DE REPRÉSENTATION APPROCHEE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 5 
Dioutré que les égalités de la forme (2) conduisent à une méthode simple pour déterminer 
la limite supérieure de l’erreur qu’on commet dans l’approximation des fonctions continues 
par certaines sommes trigonométriques finies de l’ordre donné n. 
J y ai attiré aussi l’attention sur ce fait que la même méthode s’applique à la solution 
de plusieurs autres problèmes intimement liés avec celui-la. 
Vu 1 évidence de cette assertion, je me suis borné par simple énoncé de quelques uns 
de ces problèmes à la fin de cette Note. 
Parmi ceux-ci je rappellerai les suivants: 
(A) . Les valeurs des intégrales 
7Г 
J f (x) sin kxdx ou J f(x) cos kxdx (te — 0,1,2, ) 
0 0 
étant données, trouver la valeur de l’intégrale 
> 
3 
j f \ x ) dx, 
a 
cc et fi étant deux nombres quelconques , compris entre O et тс, avec Vapproximation donnée. 
(B) . Trouver un polynôme P n (x) dont l’écart de la fonction donnée continue f(x) soit 
plus petit qu’un nombre donné à l'avance £ pour toutes les valeurs de x , comprises dans l’in¬ 
tervalle donné. 
Le premier de ces problèmes а un lien intime avec un problème qu’on appelle 
souvent le problème des moments de Stieltjes et qui a été soulevé pour la première fois par 
notre grand Géomètre P. L. Tchébicheff. 
Le second problème appartient à la classe de questions sur la représentation approchée 
des fonctions continues à l’aide des polynômes qui faisaient l’objet principal des recher¬ 
ches de Tchébicheff, créateur de la théorie des fonctions s’écartant le moins possible de zéro. 
6. Le théorème connu de Weierstrass ne fournit pas une réponse immédiate au second 
de deux problèmes que nous venons d’énoncer [Problème (B)]; il démontre seulement l’exi¬ 
stence d’un certain polynôme P(x) satisfaisant, pour tous les points de l’intervalle donné 
(a, b), à l’inégalité 
\f(x)~P(x) I < £, 
£ étant un nombre positif donné à l’avance, sans établir une relation simple entre le degré n 
du polynôme cherché et l’approximation donnée £. 
