6 W. STE KLO FF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PRORLEME 
Ce théorème se rattache plus à la théorie des fonctions d’une variable réelle qu’au 
problème de représentation approchée des fonctions, pris eu son sens propre. 
Ce dernier problème a été posé pour la première fois d’une manière précise, presque 
trente ans avant de l’apparition des recherches de Weierstrass, par Tchébicheff. Le grand 
Géomètre s’est proposé de trouver, parmi tous les polynômes de degré donné n, ceux, dont 
l’écart maximum de la fonction donnée f(x) (continue) a la plus petite valeur possible, ou, 
en adoptant la terminologie de Tchébicheff même, de trouver un polynôme de degré donné n 
{ou ne surpassant pas n) qui s'écart le moins possible de la fonction donnée. 
Dans ses recherches, devenues aujourd’hui classiques, Tchébicheff a créé une méthode 
générale pour résoudre toutes les questions de l’espèce considérée. 
Malheureusement, la solution effective de ces problèmes, dans le cas général, présente 
des difficultés presqu’insurmontables, à l’exception de certains cas particuliers, mais extrê¬ 
mement importants, qui ont été résolus par Tchébicheff lui même et, puis, par M-rs A. et W. 
Markoff. 
7. La difficulté de donner une solution effective du problème de Tchébicheff, dans les 
hypothèses plus ou moins générales au sujet de la fonction donnée f{x), a forcé de remplacer 
ce problème par des autres, moins déterminés et d’une portée incomparablement moindre, 
mais non dénués, de son tour, d’un certain intérêt. 
L’un de ces problèmes a été posé, par exemple, dans ma Note du 1-er décembre 1902 
[Problème (B)] où Гоп suppose comme donné le degré £ d’approximation et l’on exige de 
trouver le degré n du polynôme ainsi que le polynôme même, lorsqu’on connait la valeur de i. 
La solution de ce problème fournit, évidemment, une solution du problème inverse: le 
degré n d’un certain polynôme approché étant donné , trouver la limite supérieure de l’erreur 
d’approximation en fonction de n. 
X 
8. On attribue ordinairement à M. de la Vallée Poussin les premières recherches 
sur ce sujet; il a montré, en effet, en 1908 (Bulletin de l’Académie Royale de Belgique, 
mars 1908) qu’on peut construire, pour toute fonction ayant une dérivée bornée dans un 
intervalle donné, un polynôme de degré donné n qui fournit une expression approchée d’une 
telle fonction avec erreur absolue moindre que -=• 
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Je profite de l’occasion pour rappeler qu’un résultat analogue m’a été connu depuis 
longtemps. 
Dans mes Notes citées aux n os 2 et 5 et publiées aux Comptes Rendus six ans avant 
d’apparition du Mémoire de M. de la Vallée Poussin , j’ai déjà indiqué une méthode 
pour résoudre le même problème et j’y ai établi quelques propositions, concernant certaines 
sommes trigonométriques, qui se transforment tout de suite, par simple changement de la 
variable, en propositions analogues relatives aux polynômes. 
