DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 7 
En prenant, seulement comme un titre d’exemple, la première de quatre égalités de 
ma première Note (C. R. 10 novembre 1902), j’ai énoncé, dans la seconde Note, le théorème 
suivant: 
Quelle que soit la fonction continue f ( x ) admettant la dérivée du premier ordre dans 
l’intervalle donné ( a , b) et s’annulant pour les limites de cet intervalle , on a toujours 
- dh ]№***%=?* 
Tc= 1 a 
M x désignant le maximum de 
i/»i 
dans l’intervalle ( a , b). 
Il faut remarquer queye ne suppose pas que f{x) soit continue dans ( a , b), mais seule¬ 
ment , comme le montre l’analyse même , que cette dérivée soit intégrable dans l’intervalle 
considéré. 
Il est aisé de comprendre que ce théorème se transforme, par un simple changement de 
variable, en un théorème relatif à l’approximation des fonctions continues par des polynômes, 
analogue à celui de M. de la Vallée Poussin. 
La coïncidence des résultats sera encore plus évidente, si nous prenons, comme un titre 
d’exemple de l’application de notre méthode, les fonctions cos Jcx(k = 0,1, 2,... .) corre¬ 
spondant à la deuxième des égalités signalées dans ma Note du 10 novembre 1902. 
Si l’on pose 
b n Ъ 
(7) R„ (*) = m - J-L. JV(,),* ._ jJL_ 2 cos JV(.) cos ta, 
a k =1 a 
2 y 2 M x 
\/тс \ln~h 
on arrive tout de suite à l’inégalité 
!*■(*)! < 
2 y/3 M x 
\Jtz \ln-+- 1 
ayant lieu quelle que soit la fonction f(x) admettant la dérivée du premier ordre intégrable 
dans ( a , b). 
La condition que f(x) s’annule pour x = я, x = b devient évidemment superflue dans 
le cas considéré. 
L’inégalité (7j) est précisément celle qui fournit une solution du problème (B), posé 
dans ma Note citée plus haut, car cette inégalité reste la même aussi pour les polynômes de 
Tchébicheff correspondant aux fonctions trigonométrtques considérées [voir n°2]. 
