8 W. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
Il suffît de poser 
n 
E 
£ 2 7T \ 
12 M*) 
pour obtenir une approximation avec l’erreur moindre que e. 
Il est évident en même temps que l'inégalité (7f) démontre un théorème identique avec 
celui de M. de la Vallée Poussin. 
9. Les conditions de M. de la Vallée Poussin sont un peu plus générales, car il 
suppose seulement que la fonction dérivée f ( x ) soit bornée, sans supposer qu’elle soit inté¬ 
grable dans l’intervalle donné, mais il est aisé de s’assurer que ma méthode s'applique , sans 
modifications , au cas encore plus général. 
Faisons l’hypothèse que f(x) soit susceptible de la forme 
(8) f{x) = J cp (x) dx -+- G, 
a 
où g (tx ) est une fonction quelconque assujettie à la seule condition d’être intégrable dans 
[a, b ), G est une constante. 
Il est aisé de comprendre que les raisonnements du n° 17 de mon Mémoire: «Problème 
de refroidissement etc.» ne perdent pas leur sens dans ce dernier cas; il suffit seulement, en 
se rappelant la formule connue de M. Liapounoff, de remplacer partout f {x) par <р(ж). 
Qn aura alors [Compar. les inégalités (5) du n° 3] 
où 
ъ 
T n < j ? 2 (^) dx > 
a 
et nous arriverons tout de suite à l’inégalité (7,), où il faut entendre maintenant par M l le 
maximum de 
daus l’intervalle (a, b). 
Remarquons , enfin, que notre méthode non seulement conduit à un théorème sur l’ordre 
d approximation d une fonction , susceptible de la forme (<$), à l’aide des polynômes de degré n 
(énoncé au n précèdent), mais encore résout le problème du développement de ces fonctions 
en certaines sériés trigonomêt/riques ainsi qu en série procédant suivant les polynômes de 
Tchébicheff s'écartant le moins possible de zéro. 
