UE REPRÉSENTATION APPROCHÉE UES FONCTIONS PAR UES POLYNOMES ET AU PROBLEME UES MOMENTS. 9 
Je m’ai permis de rappeler ces résultats qui m’ont été connus depuis l’année 1902 et 
qui se renferment dans les remarques de mes Notes, citées plus haut, ou en découlent avec 
évidence, vu leur connexion intime avec les recherches qui vont suivre. 
IL 
10 . Nous allons considérer, dans le Mémoire actuel, les mêmes questions dont nous 
avons parlé à la Section précédente, à savoir: 
A. Le problème de représentation approchée des fonctions continues par les sommes 
trigonométriques ainsi que par les polynômes et 
B. Le problème des moments, 
c’est à dire les mêmes problèmes qui faisaient l’objet des recherches de mes Notes citées plus 
haut. 
Nous commençons par le problème A. 
Soit f(x) une fonction quelconque appartenant à une certaine classe déterminée de 
fonctions continues définies par certaines conditions complémentaires, soit P n (x) un poly¬ 
nôme de degré donné n formé suivant une loi quelconque déterminée. 
Supposons qu’on ait réussi, de n’importe quelle manière, à trouver une limite supé¬ 
rieure du module 
\m - аді 
en fonction du nombre n. 
Désignons cette limite par 
un 
et supposons que Vexpression trouvée de (f ) soit une fonction de n qui tend vers zéro 
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avec — 
n 
Cette fonction dépend évidemment de la fonction donnée f(x), de la loi de la construc¬ 
tion du polynôme approché P n (x) ainsi que du procédé qui sert à la déterminer. 
L’ordre le plus élevé par rapport à ~ que puisse atteindre la fonction ф п (/) correspon¬ 
dant aux polynômes P n (x) du type donné (formé par une loi quelconque déterminée), lorsqu’on 
considère à la fois toutes les fonctions f(x) appartenant à une certaine classe déterminée, nous 
l’appellerons Vordre d'approximation des fonctions de la classe donnée par les polynômes 
du type donné. 
Appelons le maximum de 
\m — 
dans l’intervalle donné Vécart du polynôme P n ( x ) de la fonction f(x) dans cet intervalle. 
3:іп. Фдз.-Мат. Отд. 2 
