10 W. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
Parmi tous les polynômes du même degré n il existe au moins un dont l’écart a la plus 
petite valeur possible 1 ), qui s’appelle le moindre écart du polynôme de degré donné n (pu ne 
surpassant pas n) de la fonction f {x). 
Nous allons désigner cet écart par 
L n (f)- 
L’ordre ^ par rapport à -iA de la limite supérieure précise de L n (f), correspondant à 
une famille déterminée de fonctions f(x), nous l’appellerons Vordre de la meilleure appro¬ 
ximation des fonctions considérées par les polynômes de degré donné n {ou ne surpassant 
pas n). 
Le but principal de nos recherches consistera dans l’étude de l’ordre d’approximation 
fournie par les polynômes de TchébichefF, qui servent d’interpolation parabolique par la 
méthode des moindres carrés, ainsi que par les sommes trigonométriques qui s’y rattachent 
pour une classe de fonctions continues satisfaisant à certaines conditions générales. 
Nous allons considérer le cas le plus simple des polynômes <р А (ж) (jfc=0,1,2,. . . .) qui 
ne différent que par un facteur constant des polynômes s’écartant le moins possible de zéro 
dans l’intervalle (— 1, -+- 1); nous allons appeler ces polynômes, pour abréger, simplement 
polynômes de Tchébicheff. 
Nous allons désigner toujours par 
n.(*) 
le polynôme de degré n (ou ne surpassant pas n) de la forme 
(“) n„ (x) = A„ 9 „ ( x ) -+- A l ®, (x) -t- A s < p, (я) H-(®), 
OÙ 
-bl 
Фа ( x ) 0 e — 0,1,2,. . . . ) étant les polynômes de Tchébicheff. 
Tous les autres polynômes du même degré n } nous les désignerons par 
ад. 
*) ( e théorème, dans le cas général, a été établi par M. Kirchberger en 1902 dans son Inaugural-Disser- 
tation: «Über Tchebjchefscbe Annäherungsmethoden». Göttingen, 1902 . 
