DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLEME DES MOMENTS. 1 1 
C’est précisément le problème de représentation approchée des fonctions continues par 
les polynômes П п (ж) qui fera Vobjet principal de nos recherches. 
Nous montrerons, entre autres, qu’t? existe une classe étendue de fonctions continues , 
pour lesquelles les polynômes П п ( x) fournissent une approximation dont Vordre est égal à 
Vordre de la meilleure approximation. 
Nous traiterons aussi plussieurs autres questions, plus ou moins intimement liées avec 
le problème principal, mais nous croyons inutile de les énoncer d’avance dans ces remar¬ 
ques préliminaires. 
11. La méthode que nous allons suivre dans nos recherches est fondée sur la théorie 
générale de fermeture des systèmes de fonctions orthogonales et ne présente qu’une modi¬ 
fication, convenablement développée et perfectionnée, de la même méthode dont les premières 
idées ont été esquissées dans les Notes citées dans la Section précédente (C. R. 1902). 
Avant d’aborder la question, il est utile de rappeler quelques formules et propositions 
fondamentales de la théorie de fermeture dont nous aurons à faire usage daus nos recherches. 
Soit 
Ф»(я)> *!(*), %{x), -, Ф*(я) . 
une suite quelconque de fonctions orthogonales et normales correspondant à une fonction 
caractéristique p (x), positive dans l’intervalle donné (a, b) (b > a ), c’est à dire une suite de 
fonctions satisfaisant aux conditions 
ь 
(*9) jp(x) Ф к О X ) Ф т (; x)clx = 0, si lc> m, 
a 
b 
j "p (x) Ф/ (x) dx — 1, (je = 0 , 1 , 2 ,....) 
a 
Nous dirons que la suite (9) est fermée, si l'équation ( l'équation de fermeture ) 
b со b 
(10) I P (x) p (x) dx =2 A k> A k ~ j P ( x ) f( x ) ф к (x ) dx 
a k —0 a 
a lieu pour toute fonction f(x) assujettie à la seule condition d'être intégrable dans (a, b). 
On а donc, pour toute suite fermée, 
CO 
(11) S n(f) =У і А к < £2 P° Ur n ^ n 0 > 
k—n -¥-1 
où £ est un nombre positif donné à l’avance, n 0 est un entier suffisamment grand. 
2 * 
