14 W. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
C. Toutes les fois que la suite (9) est fermée et la série 
oo 
24*.« 
O 
converge uniformément dans l’intervalle (a, b), sa somme est égale à f(x ), c'est à dire 
CO 
f( x ) = 2 4 ф * OO 
k=0 
en tous les points de l’intervalle (a, Ъ ), et [voir l’égalité ( 12 )] 
oo 
(19) Æ„(0= 24 *»(*)• 
A=«-+-l 
La démonstration de ce théorème peut être trouvée, par exemple, au n° 11 du Cha¬ 
pitre II de mon Mémoire: «Sur certaines égalités générales communes etc.», présenté à 
l’Académie des Sciences de St.-Pétersbourg le 26 novembre 1903 (Mémoires, Vol. XV, №7, 
1904) 1 ). 
Reproduisons, enfin, une inégalité simple mais très importante pour l’analyse qui va 
suivre. 
Soient, comme précédemment, f(x) et 9 (x) deux fonctions quelconques intégrables 
dans (a, b). 
On а toujours 
( 20 ) (f) <Ç \ f S n ( 9 ) -f- y jp (x) (f(x) — 9 (x)) 2 dx. 
La démonstration de cette inégalité se trouve au n °6 (p. 8 ) de mon Mémoire «Sur la 
théorie de fermeture des systèmes de fonctions orthogonales etc.» 
12. On sait qu’il est impossible de parler de l’ordre de l’approximation d’une fonc¬ 
tion f(x) par les polynômes P n (x), si l'on suppose seulement que f(x) soit continue. 
I oui arriver à un résultat précis, il faut imposer à la fonction f(x ) certaines restric¬ 
tions complémentaires, qui caractérisent, pour ainsi dire, la loi de la continuité d’une ma¬ 
nière plus au moins générale. 
!) Voir aussi mou Mémoire: «Sur la théorie de fermeture etc.», cité plus haut, Mémoires de l’Académie des 
Sciences de St. Pétersbourg, T. XXX, № 4 , Théorème XXVII (u<> 16 ).• 
