DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 1 5 
Nous allons considérer d’abord une famille de fonctions continues satisfaisant à la con¬ 
dition de Lipschitz 
(21) \f{x -+- h) — f(x) I < JiM, h > 0, 
M étant un nombre fixe ne dépendant ni de /г, ni de x, x étant compris entre les limites a et & 
de l’intervalle donné {a, b). 
Remarquons que la condition (21) peut être remplacée par cette autre lui équivalente: 
La fonction continue f(x) est susceptible de la forme 
( 22 ) 
si l’on entend par le symbole 
(23) 
X 
f{x) = 
O, 
I 
l’intégrale au sens de M. Lebesgue et par <р(ж) une fonction bornée sommable. 
Nous prenons pour la définition de la classe considérée de fonctions continues l’équa¬ 
tion (22), mais nous nous bornerons , pour plus de simplicité , au cas où le symbole {23) 
représente une intégrale prise au sens classique de Riemann , bien que l’analyse s’étend 
immédiatement au cas plus général sans rien changer aux raisonnements. 
Nous allons donc considérer une famille de fonctions continues définies par la condi¬ 
tion {22) où <p(rc) est une fonction intégrable dans l’intervalle donné au sens de Riemann , 
G est une constante. 
13. Supposons qu’on ait réussi à construire les polynômes P n {%) de degré n tels qu’on 
ait, pour toutes les fonctions satisfaisant à la condition (22), 
I«*) - ад) I < ш, 
• j 
où <\> n {f ) est une fonction positive de n s’annulant avec — 
On a toujours 
J ) Nous allons entendre maintenant par le symbole L n (f) la plus grande de toutes les valeurs possibles du 
moindre écart des polynômes de degré n des fonctions f(x) appartenant à la famille considérée. 
