16 W. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
Considérons le rapport 
L n (f) 
Mï 
Nous avons deux cas à distinguer qui différent essentiellement l’un de l’autre: 
Premier cas: 
lim 
n—OO 
Ml 
*n<f) 
Daus ce cas L n {f) est une quantité de l’ordre plus élevé par rapport à que (/*). 
L'expression de (f) ne présente donc pas Vordre de la meilleure approximation de 
la fonction f(x) par les polynômes P (x). 
Il existe (ou au moins peuvent exister) des autres polynômes du même degré n, formés 
par une loi différente de celle que nous avons employée pour construire les polynômes P (æ), 
qui fournissent une approximation meilleure. 
Second cas : 
li m — n( 0 
n iZ Ш 
= P» 
où [A est un nombre fixe ne surpassant pas Vunité , mais différent de zéro. 
Dans ce cas les quantités 
L n(f) et Mf) 
sont du même ordre de grandeur par rapport à et, par suite, l’ordre de l’expression 
trouvée de ф п (f) peut être pris pour mesure de Vordre de la meilleure approximation des 
fonctions considérées par les polynômes de degré n. 
Nous pouvons dire alors que les polynômes trouvés P n {x) fournissent pour les fonctions 
de la famille considérée une approximation avec Vordre de la meilleure approximation. 
14. La détermination de la limite supérieure précise de l’écart moindre L n (f) présente, 
dans le cas général que nous considérons ici, un problème presqu’insurmontable; mais en 
revanche nous pouvons, dans certains cas, déterminer une limite inférieure du moindre 
écart L n (f). 
C’est précisément cette dernière circonstance qui nous permettra d’en déduire quelques 
conclusions intéressantes. 
Supposons qu’on ait trouvé, de n’importe quelle manière, une limite inférieure de L u (f ), 
que nous désignerons par 
Ш, 
sous la forme d’une fonction de n s’annulant avec — • 
n 
« 
