DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 17 
Ici, comme précédemment, deux cas peuvent se présenter: 
Premier cas: 
lim 
n = oo 
MO , 
Dans ce cas défavorable nous ne pouvons rien dire sur le rapport 
Ый 
Uf) 
qui peut tendre, pour n = oo, vers zéro aussi bien que vers une limite différente de zéro. 
La connaissance de la limite inférieure 0 n (f) ne permet donc pas de reconnaître, pré¬ 
sente-t-elle l’expression trouvée de '\> n (f) l’ordre de la meilleure approximation des fonctions 
considérées par les polynômes de degré n, ou non. 
Second cas: 
lim = X < 1, X > 0. 
n = oo<Mf) 
Si cette inégalité se vérifie pour Vune au moins des fonctions appartenant à la famille 
considérée , on a nécessairement 
lim 
n— oo 
Ml 
Фп(0 
= (A < 
(A > 0. 
Dans ce cas on peut donc affirmer que la valeur trouvée de ф п (f) représente en effet 
Vordre de la meilleure approximation des fonctions considérées par les polynômes de degré 
donné n {ou ne surpassant pas n). 
On arrive ainsi à la conclusion suivante: 
Supposons qu’on ait trouvé, pour toutes les fonctions f{x) de la famille considérée, une 
limite supérieure ф п (f ) de Vécart L n (f ). 
Supposons encore qu’on ait réussi, pour Vune au moins des fonctions appartenant à la 
même famille, à déterminer une limite inférieure 0 n (f ) de L n (f ) telle qu’on ait 
lim 
n = oo 
Ml 
Ф« (f) 
X > 0. 
Cette condition étant remplie, Vordre de la fonction (f) représentera Vordre de la 
meilleure approximation des fonctions considérées par les polynômes de degré donné n. 
Зап. Физ.-Мат. Отд. 
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