18 W. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NAUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
15. Nous avons déjà vu (n os 8 et 9 de la Section précédente) que pour les polynômes 
П п (я) on a 
IA*) - П „(*)І < ^ = 'Ш: 
quelle que soit la fonction f(x) satisfaisant à la condition (22). 
Nous verrons que c’est une limite trop grossière même pour les polynômes de la 
forme U n (x). 
Il est naturel d’essayer d’abaisser l’ordre de ф п (/") ou de chercher des polynômes d’un 
autre type qui fournissent une approximation d’ordre plus élevé. 
M. D. Jackson dans sa thèse 1 ), parue récémment, a indiqué, moyennant les méthodes 
de M. de la Vallée Poussin et de M. Lebesgue, une loi de construction des polynô¬ 
mes P n (x) tels qu’on ait 
\ах)-Р„(х)\ = Ш = Тг- 
Il a montré aussi, par une analyse d’ailleurs très compliquée, que cet ordre d’approxi¬ 
mation ne peut pas être élevé pour les polynômes P n (x ) qu’il considère. 
Il est naturel de se demander, n’existe-t-il pas des polynômes, formés par une loi dif¬ 
férente de celle de M. Jackson, qui puissent fournir encore une meilleure approximation 
pour les fonctions f(x) satisfaisant à la condition (22), ou l’ordre trouvé — est en effet 
n 
l’ordre de la meilleure approximation? 
Nous verrons au n os prochains que notre méthode nous permet d'en donner une réponse 
complète. 
l(î. Appliquons l’inégalité (20) du n°ll, ayant lieu pour toute suite fermée des fonc¬ 
tions orthogonales Ф А (x), aux polynômes y k (x) de Tchébicheff et posons en même temps 
? ( x ) = p n ( ж )> 
en entendant par P n {x) un polynôme arbitraire de degré n. 
Dans ce cas on trouve 
W = о 
0 « Ü bei die Genauigkeit der Anuäiierung stetiger Functionen durch ganze rationale Funktion gegebenen 
Grades und durch trigonometrische Summen gegebener Ordnung». Göttingen, 1911. Voir aussi son Mémoire récent: 
«On approximation by trigonométrie sums and polyuomials», Transactions of the American Mathematical Society 
Vol, XIII, n» 4, 1912. ; 
