24 W. STEKL0FF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
En se rappelant maintenant que, d’après le théorème de M. D. Jackson, 
ш = 4’ 
pour toute fonction f(t) satisfaisant à la condition (22), on s’assure que dans le cas con¬ 
sidéré 
MÛ = 1 
MO t KÄ2\ß 
Nous avons supposé que n > 4, mais il est évident que cette restriction n’a rien d’es¬ 
sentiel. 
En tenant compte de ce que nous avons dit à la fin du n°14, on arrive ainsi au 
théorème: 
Théorème I. L'ordre de la meilleure approximation (dans chaque intervalle donné) 1 ) des 
fonctions continues par les polynômes de degré donné n, si Гоп sait seulement que ces fonc¬ 
tions appartiennent à la famille A , ou , ce qui revient au même , qu’elles satisfont à la condi¬ 
tion de Lipschitz , est égal à -i-, et c’est précisément Vapproximation que fournissent , par 
exemple , les polynômes de M. Jackson. 
Eu d’autre termes, il est impossible de trouver des polynômes de degré donné n qui 
puissent fournir, pour toutes les fonctions assujetties uniquement à la condition de vérifier l’iné¬ 
galité de Lipschitz, une approximation d’ordre plus élevé que —• 
Le problème de la meilleure approximation des fonctions appartenant à la famille A 
par les polynômes de degré donné n peut être considéré comme complètement résolu au 
point de vue où nous sommes placés. 
19. Pour aller plus loin dans l’étude du problème qui nous intéresse, il est naturel 
maintenant de detâcher de la famille de fonctions, dont nous venons de nous occuper, une 
classe de fonctions plus resserée, en ajoutant à la condition générale (22) quelques restric¬ 
tions complémentaires. 
Nous avons supposé jusqu’à présent que <р(ж), dans l’intégrale (22), satisfasse à la seule 
condition d’être intégrable dans l’intervalle donné. 
Il est naturel maintenant de faire quelques hypothèses complémentaires au sujet de la 
fonction ф(ж). 
L’une de ces hypothèses, assez générale, est la suivante: 
q Nous avons supposé jusqu’à présent que les limites de l’intervalle donné soient — 1 et -н 1. Il est évident 
que cette restriction n’a rien d’essentiel et que le théorème reste vrai pour tout intervalle donné. 
