DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 25 
La fonction cp ( x ) est une fonction à variation bornée dans Vintervalle donné. 
Les fonctions f{x) satisfaisant à la condition (22), où <p(æ) est non seulement intégrable, 
mais encore à variation bornée, forment une famille des fonctions continues que nous allons 
appeler famille B. 
La première question qui surgit avant tout est la suivante: élève-t-elle, cette hypothèse 
complémentaire, l’ordre de la meilleure approximation des fonctions de la famille B par 
les polynômes de degré n en comparaison à celui des fonctions appartenant à la famille plus 
étendue A? 
Supposons, comme au n° 14, qu’on ait trouvé une limite inférieure Q n (f) de L n (f) pour 
une fonction quelconque de la famille B. 
Il est évident que l’ordre de la meilleure approximation ne peut surpasser l’ordre de 
la fonction 0 n (f). 
Reprenons la fonction f(x ) du n° 17, ou, ce qui est plus commode, la fonction 
f(t) == — j cp (z) dz -+- G = I Ѳ (z) dz -+- G. 
—î 
— î 
D’après la définition, la fonction Q(z) reste positive dans l’intervalle (— 1, 1); elle 
est égale à zéro pour 
— 1 < * < 0 
et décroît de Ѳ(0) jusqu’à Ѳ(-і- 1), lorsque z croît de 0 à -н 1. 
Désignons par N{z) une fonction définie par les conditions 
N(z) = 0 pour — 1 < z < O, * 
N (г) = Ѳ (0) = a > 0 pour 0 < z < 1 
et posons 
P(*) = a — 2(4 
q (z) étant une fonction définie par ces conditions 
q(z) = a pour — 1 < z < 0, 
q(z) Ѳ($) pour 0 < z < -+- 1. 
Les fonctions N(é) et P(z), ainsi définies, sont toutes les deux positives et non décrois¬ 
santes dans l’intervalle (— 1, -+-1). 
Физ.-Мат. Отд. 
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