26 W. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
D’autre part, il est évident que 
Ѳ 0) = N (g) — P(4 
Donc, b (g) est une fonction à variation bornée dans l’intervalle (_ 1 , -r-l) et par 
suite, la fonction f(t) appartient à la famille B. 
Or, nous avons déjà vu que, pour cette fonction, 
1 
%n 2 \j 2 
On en conclut que l’ordre de la meilleure approximation des fonctions de la famille B 
ne surpasse pas — • * 
D’autre part, la famille B fait partie de la famille A. 
Donc, l’ordre de la meilleure approximation des fonctions de la famille B pai des poly¬ 
nômes de degré n est au moins égal à — 
n 
Il s’ensuit ce théorème: 
Théorème II. L’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues, si l’on sait 
seulement qu’elles appartiennent à la famille B de fonctions satisfaisant à la condition (23), 
où f (s) est me fonction à variation bornée dans l’intervalle donné, est égal précisément à — 
n 
20. On voit, de ce qui précède, que l’hypothèse complémentaire que 9 (г), dans l’équa¬ 
tion ( 22 ), est une fonction non seulement intégrable mais encore à variation bornée n’exerce 
aucune influence sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions considérées fix) 
par des polynômes. v 
W est évident aussi que tout polynôme de degré n , formé suivant la loi indiquée par 
M. Jackson, fournit l’approximation dont l’ordre est égal à celui de la meilleure approxi¬ 
mation pour les fonctions de la famille B. 
Mais le calcul des polynômes de M. Jackson est assez compliqué, de sorte qu’il est 
naturel d’essayer de les remplacer par d’autres, plus simples et fournissant la même appro¬ 
ximation de l’ordre — • 
n 
Nous verrons que ce sont précisément les polynômes П п (х) du n° 10 qui fournissent 
cette approximation. 
21. Kepienons les fonctions (a) du n° 2 de la Section précédente: 
■(*> = \/4’ »» = Vt 
cos kx. 
« 
