DE REPRESENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLEME DES MOMENTS. 29 
on peut écrire 
Or, la suite de fonctions 
(k = 1 , 2 , 3 ,....) 
est une suite fermée , comme je Гаі démontré dans une de mes Notes citées plus haut 
(C. R, 10 novembre 1902). 
Par conséquent, en vertu de (11) (n° 11), 
|Л„(0І<-7= 
V n 
pour n assez grand. 
Cette inégalité a lieu pour toute fonction <p (x) intégrable dans (0, тс). 
Supposons maintenant que <p (x) soit une fonction à variation bornée dans (0, тс), c’est à 
dire que f(x) appartienne à la famille B. 
On a alors, d’après le théorème bien connu, 
о 
J<p(æ)si 
sin hx dx 
< 
B_ 
Je 
B étant un nombre fixe ne dépendant pas de к (ne dépendant que de la fonction cp (x)). 
Il s’ensuit que 
oo 
к(п I <2 h 
£=«-«-1 
cos Jcx 
~k~ 
CO 
Tt—n- i-l 
B 
le ' 
L’analyse de ce n° conduit au théorème: 
Théorème III. Toute fonction continue appartenant à la famille A se développe , dans 
l’intervalle ( O, тс), en série uniformément convergente de la forme 
