30 • W. S TE KL OFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
La somme trigonométrique finie à n-+-1 termes 
n 
S n (x) =2 cos hx 
k=0 
fournit , pour toute fonction de la famille A , une approximation dont l'ordre surpasse —=• 
\Jn 
Si la fonction f ( x) appartient à la famille (B), la même somme trigonometrique S n (x) 
fournit une approximation de Vordre —• 
n 
22 . Appliquons maintenant ce théorème à la fonction 
F(x) = f (cos x) 
qui, comme on sait (voir n° 17), appartient toujours à la même famille A ou B dans l’inter¬ 
valle (0, тс) que la fonction f(t) dans l’intervalle (—1, -+-1). 
On obtient le développement 
_ OO 
F( x ) — f{ cos ж) = A 0 y~ 2 A C0S ^L 
k =1 
OÙ 
7Г 
0 
Remplaçons, dans (32), cos x par x. 
Les fonctions 
Vv V ? mskx 
se transforment en polynômes ç,(*)(fc = 0,1,2,....) définis par les conditions 
-+-1 
f P (*) b (*) p k -1 (*) dx, p (x) = - 1 
vi — x 2 
I 
