DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DE8 FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 31 
-t-1 
J P{x)Vk(p)dx = 1, 
— 1 
p *-i( x ) étant un polynôme arbitraire de degré <к— 1, c’est à dire en polynômes de Tché- 
bicheff (voir и 0 10). 
La série (32) se transforme en série procédant suivant les polynômes de Tchébicheff à 
coefficients formes suivant la loi de Fourier, la somme trigouométrique 8 n (x) eu polyuome 
de degré n de la forme 
n 
n „ (*)=2 л ?*(*)> 
0 
-f-1 
4i = /«»)?*(•) A- 
—1 
Le théorème précédent se change en suivant: 
Théorème IV. Toute fonction f(x) appartenant à la famille A se développe , dans l’inter¬ 
valle (— 7, 1) ) en une série uniformément convergente de la forme 
OO -+-1 
fi x ) = 2 A ?A (*)i A = J f( x ) ?* (*) ^== ’ 
9* (a?) étaw/ fcs polynômes de Tchébicheff. 
Le polynôme ll n (x) de degré n , formé de n-r-1 premiers termes de cette série , fournit , 
pour toute fonction de la famille A, une approximation dont l’ordre surpasse -L- 
\j n 
Si la fonction f{x) appartient à la famille B, le même polynôme П n (x) fournit une 
approximation de l’ordre — • 
n 
Si nous nous rappelons encore le théorème II du n° 19, on arrive à ce théorème: 
Théorème V. Le polynôme de degré n 
n 
н„(*) =2 A?A X ) 
