32 W. S TE KL 0 F K. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
fournit une expression approchée des fonctions appartenant à la famille B avec Vordre de la 
meilleure approximation qui est égal précisément à —• 
23. Il est intéressant de comparer les résultats obtenus avec ceux de M. de la Vallée 
Poussin qu’il a déduits, par une méthode beaucoup plus compliquée et n’ayant rien de 
commun avec la nôtre, dans son Mémoire: «Sur la convergence des formules d’interpolation 
entre ordonnées équidistantes» (Bulletin de l’Académie des Sciences de Belgique, avril 1908, 
p.p. 405 — 410 ). 
Il a montré que la fonction f(x), ayant une dérivée à variation bornée dans l’intervalle 
donné, peut être représentée dans cet intervalle par le polynôme de degré pair 2n 
n b 
F *n (*) = Îf 2 (йГ=ТГі J m%k - x ? k dz 
Æ=1 a 
avec une erreur absolue moindre que 
B 
2w-b 3* 
B étant un certain nombre fixe ne dépendant pas de n. 
Notre méthode conduit à la fois et d’une manière simple à la solution du problème de 
développement des fonctions de la famille A en séries de polynômes de Tchébichetï ainsi 
qu’à celle de représentation approchée de ces fonctions et de celles de la famille B par des 
polynômes. 
Ces fonctions satisfont aux conditions plus générales, car elles peuvent n’avoir pas la 
dérivée au moins en une infinité de points d’un ensemble de mesure nulle et, d’autant plus, 
une dérivée à variation bornée. 
La condition que le polynôme approché est pair ne joue aucun rôle. 
Dans le cas des fonctions de la famille B le polynôme approché П п (а?), coïncidant avec 
celui qui sert d’interpolation parabolique par la méthode des moindres carrés, fournit, en 
même temps, une approximation de l’ordre — qui est précisément l’ordre de la meilleure 
approximation. 
24. Montrons maintenant qu’il existe une classe encore plus étendue de fonctions con¬ 
tinues qui peuvent être représentées approximativement par le même polynôme П м (я) avec 
le même ordre d’approximation. 
Reprenons la définition la plus générale des fonctions de la famille A, à savoir la con¬ 
dition de Lipschitz: 
( 21 ) ' \f(x-*-h) — f(x)\ < Ш, 
pour tous les points x de l’intervalle (—1, -+-1). 
h > 0, 
