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DE REPRÉSENTATION APPROCHEE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 33 
Cette condition montre que toute fonction fix) de la famille A est nécessairement une 
fonction à variation bornée. 
Désignant, en effet, par T(x) la variation totale de f(x) dans l’intervalle (—1, x), on 
s’assure tout de suite que 
« 
Д*) = 2 I fW — f (%-1) I < M{\ ■+- *) = Ш, 
Tc =1 
l désignant la longueur de l’intervalle considéré. 
Il est évident en même temps que fix ) est une fonction absolument continue , comme on 
dit aujourd’hui. 
On peut donc poser toujours 
(33) f{x -ь A) — f{x) = A 6 (ж, A), 
où Ѳ (ж, h) est une fonction à variation bornée et satisfaisant à la condition 
(34) I Ѳ (ж, h) I < M, 
M étant un nombre fixe ne dépendant ni de x , ni de A. 
La variation totale de la fonction Ѳ(я, h), dans tout intervalle (—1, x) est une fonc¬ 
tion de x et de A. 
Désignons cette variation par T(x, A). 
C’est une fonction bornée positive et croissant avec x pour chaque valeur donnée de A. 
Supposons que A tende vers zéro. 
Nous avons deux cas à distinguer: ou T(x, A) croît au delà de toute limite, lorsque A 
tend vers zéro , ou T(x, A) reste toujours plus petit qu’un nombre fixe N ne dépendant ni de x, 
ni de A, c’est à dire 
(35) n T(x, A) < N, 
quelle que soit la quantité positive A. 
Il est aisé de s’assurer que les fonctions de la famille B ne présentent qu’un cas parti¬ 
culier de fonctions jouissant cette dernière propriété. 
Si 9 (ж), dans la formule (22), est une fonction à variation bornée, il en est de même de 
la fonction 
? (t + x), 
t étant une quantité positive que nous supposons comprise entre 0 et A. 
Зап. Фпз.-Мат. Отд. 
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