34 W. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLEME 
Soient x k et x k _ x (x k > x k _ x ) deux valeurs quelconques de x comprises dans l’inter¬ 
valle (a, b). 
On a, en vertu de (22), 
S(I , s , = &t|Æ = |j f((+I)Â 
о 
et 
h 
0 (x k , h) 0 ( x k __ j, h) = j (9 (t -f- x k ) — ? (t -+- x k _f)) dt. 
о 
Donnant à x une suite de valeurs croissantes 
а, х г , x 2 ,, x k , Xj c _ 15 .... j x, 
on trouve, pour tout intervalle ( a , x), 
h 
2 I Ö (Ж* , A) — 6 (x t _ x , A) I < -IJ 2 I <p (< H- **) — ® (< •+■ I dt. 
O 
Or, la somme sous le signe de l’intégrale ne surpasse pas la variation totale de la 
fonction 
9 (t -л-х) 
dans l’intervalle (< %,x ), ou, ce qui revient au même, la variation totale de 9 ( 3 ) dans l’inter¬ 
valle (a -+- 1, x -+-1). 
D’après l’hypothèse faite, cette dernière ne surpasse pas un nombre fixe N qui peut 
être assigné indépendamment de la valeur de t, comprise entre O et h. 
Il s’ensuit que 
V 10(æ t ,A) — 9(**_!,A)I < N, 
c’est à dire 
T(x, h) < N. 
Par conséquent, toute fonction appartenant à la famille B satisfait aux conditions (33) 
(34) et (35). 1 
On peut indiquer une autre famille B de fonctions jouissant la même propriété. 
Désignons par 
A ЛО 
la différence finie du second ordre fie la fonction f(x). 
