PE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLEME DES MOMENTS. 35 
Considérons le rapport 
A h *(f) _ f(x + 2h)-2f(x-t-h)-i-f(x) 
h 2 — h 2 
Deux cas peuvent se présenter: ou le rapport 
A h 4f) 
h 2 
I 
croît au delà de toute limite, lorsque h tend vers zéro, ou ce rapport reste toujours plus petit 
qu’un nombre fixe M ne dépendant ni de x, ni de h. 
Considérons la famille des fonctions satisfaisant à cette seule condition 
qui peut s’écrire évidemment 
Vffl 
ln 2 
< M,, 
\Ъ(х-л-Ъ,Ъ) — Ъ(х,Тъ)\ ^ ш 
h ^ 
Il s’ensuit que, dans le cas considéré, la fonction Ѳ (x, h) satisfait à la condition de 
Lipschitz et, par suite, peut être représentée sous la forme 
X 
6 ( x, h) == ( x) dx -ь C, 
a 
Ь г (х) étant une fonction bornée dans l’intervalle ( a , b). 
On en conclut que 0 (x,Ti) est une fonction à variation bornée vérifiant l’inégalité (35). 
On voit que les conditions (33), (34) et (35) définissent une famille G de fonctions qui 
renferme les familles B et B' comme un cas particulier. 
25 . Soit f(x) une fonction quelconque de la famille G. 
Introduisons une fonction auxiliaire 
x-\-h 
'H*) = x jf(x)dx 
X 
dont nous avons fait usage déjà plusieurs fois 1 ). 
!) Voir, par exemple, ma Note: «Sur la condition de fermeture des systèmes de fonctions orthogonales». 
Comptes Rendus, 12 décembre 1910. Voir aussi mon Mémoire: «Sur la théorie de fermeture etc.», cité plus haut. 
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