DE REPRÉSENTATION APPROCHEE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 4 1 
Théorème VII. Toute fonction f{x) appartenant à la famille C, c’est à dire toute fonction 
f(x) satisfaisant à la condition 
f{x -+- h) — f{x) = m (x,h), — 1 < X < -f- 1, 
où 0 (x, h) est une fonction dont le module et la variation totale ne surpassent pas un nombre 
fixe 31, se représente, dans Vintervalle (— 1, +1), approximativement par le polynôme I I n (x) 
avec une erreur absolue moindre que 
Ш 
1 V n 
En se rappelant ce que nous avons dit plus haut (n os 12 —20 et n° 24), on peut affirmer 
de plus qu'il n'existe pas d’autres polynômes de même degré n qui puissent fournir, pour 
toutes les fonctions de la famille G, une approximation de Vordre plus élevé que —, de sorte 
n 
que les polynômes de la forme П п ( x ) fournissent, pour les fonctions de la famille C, une 
approximation dont l’ordre est égal à celui de la meilleure approximation. 
27. La méthode, que nous venons d’exposer, s’étend sans difficulté au cas plus général. 
Désignons par со ( li ) une fonction positive de l’argument positif li. 
Supposons que со ( h ) décroît avec h et qu’on ait 
со (h) < £ pour h < 8, 
où 0 est un nombre positif donné à l’avance, £ est une quantité positive s’annulant avec ù. 
Supposons que la fonction f {x) satisfasse à la condition 
(44) fix-i-b) — f{x) — со (h) Ѳ ( x , Tï), 
où 6 (x, h) est гте fonction à variation bornée dans l’intervalle ( 0, тг) telle qu’on ait 
(45) I Ѳ (a?, Ä) I < 31, T(h)<31, 
T (h) désignant la variation totale de G (x, h) dans l’intervalle considéré, M désignant un 
nombre fixe ne dépendant ni de x, ni de h. 
Nous allons appeler la famille de fonctions satisfaisant à ces conditions famille D. 
Introduisons, en suivant la méthode du n°25, la fonction auxiliaire 
x-i-li 
Ф(я) = T J f( x ) dx 
x 
Зап. Физ.-Мат. Отд. 
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