DK REPRÉSENTATION APPROCHEE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 45 
29 . Soit maintenant fit) une fonction de t satisfaisant aux conditions du n° 27 dans 
l’intervalle (— 1, -ь 1). 
• Remplaçons t par cos a; et formons la fonction auxiliaire 
со sx+h 
Ф( ж ) = \ jf(e)dg. 
cosx 
Cette fonction admet, dans l’intervalle (О, тс), la dérivée 
ФЧ®) =- \ (f (cos x-x-h) — f( cosæ)Jsinæ. 
En se rappelant que 
fit-x-h) — f{t) = co(Â)G(*,A), 
on trouve 
V ( x ) = — 0 (cos X, h) sin x — --jQ G x (x, h ), 
où 
0, (x, h) = — Ѳ (cos x, h) sin x 
est, évidemment, une fonction s’annulant aux extrémités de l’intervalle (O, тс) et à variation 
bornée. 
Désignons par T (h) la variation totale de la fonction Ѳ (t, h) dans l’intervalle (— 1, -+-i) } 
où, ce qui est le même, la variation totale de G (cos x, h) dans l’intervalle (0, тс), par 1\ (h) 
la variation totale de 0 г {х,1г) dans le même intervalle. 
Eu remarquant que 
I G (cos x k , h) sin x k — G (cos х к _ г , h) sin х к _ г | < 
< I G (cos x k , h) — G (cos x k _ x , h) | -f- | G (cos x k _ x , h) | \x k — х к _^\, 
où x k > х к _ г sont deux valeurs quelconques de x comprises entre O et тс, on s’assure que 
ЗД < T (h) н- 7Г M < M{ 1 -t -тс) = N, 
car, d’après l’hypothèse faite, 
T (h) < Ж, IG (cos x k _ x , h) I < M. 
