iS W. SIE KLO FF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THEORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
le polyuorae P n (x), où il faut poser h = -L, fournira une approximation dont l’ordre est au 
moins égal à 
A 
n a ’ 
A étant un nombre ne dépendant pas de n. 
Enfin, pour toute fonction satisfaisant à la condition 
le même polynôme fournira une approximation dont l’ordre est au moins égal à 
A 
log n 
Les cas particuliers des conditions que nous venons de signaler sont analogues à celles 
de Lipschitz et de M. Dini. 
Л2. Nous avons étudié jusqu’à, présent les lois d’approximation par les polynômes П (ж) 
et Pn ( x ) ( n ° précédent) des fonctions continues satisfaisant à certaines conditions générales 
et n admettant pas, en général, des dérivées dans l’intervalle considéré. 
Il est évident à priori que l’existence des dérivées de la fonction, que nous voulons 
représenter approximativement par un polynôme quelconque de degré donné n, doit élever 
essentiellement l’ordre d’approximation. 
Sans étudier cette question dans toute sa généralité, indiquons une application simple de 
notie méthode à la détermination d’ordre d’approximation que fournissent les polynômes de 
la forme U n (x) (n°10) pour les fonctions dont les dérivées appartiennent à la famille G 
(n° 24). 
33. Soit fit) une fonction admettant dans l’intervalle (— 1, -н 1) les dérivées succes¬ 
sives jusqu’à l’ordre p — 1. 
Supposons que la dérivée de l’ordre quelconque s<p satisfasse à la condition 
( 51 ) (t -H h) — fis) (t) = hü s (t, h ), 
ou h > O, 0 s (t, h) est une fonction vérifiant les inégalités 
