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W. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA TRÉORTE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
On a, quel que soit l’entier s, 
(52 2 ) <)/•) (x) = ± 0^ (t, h) sin* x -+- a, Ô,_ 2 (t, h) -+- н 0 o (*,• /г), 
où a 1? a 2 ,. . . ., ct a _ x sont des fonctions rationnelles de siua; et cos x. 
On en conclut, en tenant compte de (52), que ф(*)(ж) est une fonction à variation bornée 
dans (O, ti) satisfaisant aux conditions 
(53) №*)(*)! < N„ r s (h ) < N„ 
T s '(h) désignant la variation totale de фМ(ж) dans l’intervalle considéré, N s une constante 
positive ne dépendant ni de x, ni de h. 
Ces inégalités ont lieu pour toutes les valeurs de s à partir de s = 1 jusqu’à s =p 
Rappelons encore que ф(ж) satisfait à la condition (voir n°30) 
(54) |ф(ж) — f(cosx) \ < Mb. 
34 . Posons maintenant, comme au n°30, 
n 
+ (*) =2°t C0Sfe -+- Й „(Ф), 
fc =0 
où, d’après le théorème C du n° 11, 
oo 
л „('и =2 e î coste 
£=«-+-1 
Considérons l’intégrale 
7Г 
I k = (x) cos kxdx. 
O 
En se rappelant les propriétés de la fonction ф(ж), indiquées au n° précédent, 
s’assure, moyennant l’intégration par parties, que 
on 
-+- _ J 
ou 
7C 
J k — I ф (р) ( x ) sin kxdx. 
о 
si p est impair 
