52 W. STEKL0FF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES 
UE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
Remplaçant, enfin, cos я par x, on obtient l’inégalité 
où U n (x) est le polynôme de degré », défini par la formule (a) du n° 10. 
On arrive ainsi au théorème: 
Théorème X. Toute fonction f(x), dont la dérivée de Tordre p—1 est une fonction 
appartenant à la famille C, se représente, dans l'intervalle (— 1, i ), approximativement 
par le polynôme ïl n ( x ) avec une erreur absolue moindre que 
t = *5t± 
7Г 
M r étant me estante ne dépendant que du nombre p et de la fonction f(x) (ne dépendant 
pas de n). 
35, Faisons encore quelques remarques sur l’ordre de la meilleure approximation des 
fonctions indéfiniment différentiables par les polynômes de degré n. 
Je dois rappeler tout d’abord que cette question faisait l’objet des .recherches 
de M. S. Bernstein qui a déduit, entre autres, l’inégalité 
(55) 
L n(f) < 
Г (w -t- 2) 2 n ’ 
L Jf ) désignant le moindre écart du polynôme de degré n de la fonction f(x) dans l’inter¬ 
valle 1), M n+l le maximum du module de /*(»+ D(a?) dans cet intervalle 1 ). 
Montrons, en profitant de l’occasion, que l’inégalité (20) dan 0 11, dont nous avons 
déjà indiqué une application importante au n°16, permet de compléter, d’une manière fort 
simple, le résultat tout à l’heure indiqué. 
Reprenons l’inégalité (26) du n° 16 
(26) 
L Jf)> у/| ѴШ 
] ) «Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions 
2 sér., T. IV, 1912, p. 65. 
continues )). Mémoires de PAcadémie de Belgique 
