54 W. STEKLOFF, QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLEME 
Les fonctions f(x ) admettent les dérivées continues jusqu’à l’ordre n-t- 1 (au moins) 
vérifiant les inégalités 
I Л*>(*)| < M, 
[k — 0,1, 2,..., j w-f-l) 
M étant une constante positive donnée. 
Les inégalités (56 x ) s’appliquent à chaque fonction f(x) appartenant à la famille con 
sidérée. 
Prenons pour f(x) une fonction dont la dérivée 
f( n -*~ l )(x) 
leste positive dans 1 intervalle (— 1, ч- 1) et satisfait aux conditions 
N < f( n +')(x) < 31, 
N étant un nombre donné. 
Dans ce cas 
4m > N 
et l’inégalité (56J donne 
L (f) ^ 
пЧ ’■ ^ 2 n Г (n 4- 2)" 
D’autre part, on a, pour toute fonction f(x) de la famille considérée, 
L n (f) < 
231 
2"Г(и-ь2) 
On en déduit, en se rappelant ce que nous avons dit au n° 14, ce théorème: 
Theoreme XI. L’ordre de la meilleure approximation que puisse fournir un polynôme de 
degré,' n pour une fonction f(x), lorsqu’on sait seulement qu’elle appartient à la famille de 
fonctions admettant les dérivées continues jusqu’à l’ordre n + 1 (au moins ) satisfaisant aux 
conditions 
|/W(*)| < M, 
est précisément égal à 
(k = 0 , 1 , 2 ,... ,?»-»- 1 ) 
2 n T (n-\~ 2) 
