DE REPRÉSENTATION APPROCHEE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 55 
36. Ou voit que la détermination de l’ordre d’approximation des fonctions du n° précé¬ 
dent par les polynômes s’écartant le moins possible de ces fonctions ne présente pas de 
grandes difficultés. 
Malheureusement, nous n’avons aucun moyen pratique pour construire les polynômes 
mêmes, si l’on connaît seulement que la fonction à approcher admet les dérivées de divers 
ordres dans l’intervalle donné. 
C’est pourquoi toutes les recherches sur Vordre de meilleure approximation des fonc¬ 
tions continues par des polynômes, lorsque le polynôme d’approximation reste entièrement 
inconnu et lorsque ces recherches ne poursuivent aucun autre but qu’à déterminer cet ordre, 
ne peuvent pas présenter un intérêt au point de vue de 1a, théorie de la meilleure représen¬ 
tation des fonctions par des polynômes. 
Mais les théorèmes analogues à celui de XI peuvent présenter un intérêt à un autre 
point de vue, à savoir, lorsqu’on réussit d’en tirer quelques conclusions sur le degré d’appro¬ 
ximation que puisse fournir tel ou tel polynôme donné et bien déterminé , par lequel nous 
avons besoin de remplacer approximativement une fonction donnée. 
Nous avons déjà indiqué quelques exemples de cette espèce, lorsqu’il s’agissait des 
polynômes de M. D. Jackson ou des polynômes Iï n (æ), qui rendent minimum l’erreur 
moyenne quadratique, et des fonctions à approcher appartenant aux familles A, B et C. 
Faisons maintenant quelques indications sur l’ordre d’approximation que fournit les 
polynômes de la forme П п (ж) pour les fonctions du n° précédent et comparons cet ordre 
avec celui de la meilleure approximation, défini par le théorème XI. 
Bien que nous ne pouvons pas arriver, dans le cas considéré, aux résultats si complèts 
qu’aux n 0il 18 —24, nous nous permettons néanmoins d’indiquer une méthode simple pour 
déterminer une limite supérieure de l’erreur qu’on commet en prenant pour l’expression 
approchée des fonctions, dont il s’agit, le polynôme U n (x). 
Cette méthode mérite une attention par elle même, car elle s’applique non seulement 
au cas particulier que nous considérons ici, mais encore à plusieurs autres suites de fonctions 
orthogonales et permet de résoudre, en même temps, diverses questions qui se rattachent au 
problème du développement des fonctions arbitraires en séries procédant suivant les-dites 
fonctions. 
37. Posons, pour simplifier l’écriture, 
et désignons par 
les polynômes de Jacobi correspondant à la fonction caractéristique р г (х). 
