DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 57 
N 
Désignons maintenant par \ une valeur quelconque de x comprise entre — 1 et —1 
et envisageons l’identité 
X 
(59) R\ (5) = ВД — 2 J R n (x) R n (x) dx. 
'ï 
En remarquant que 
X H-l -*-l 
( /4^= dx -jVl —x>R?(x)dx = S n (04-,(0> 
5 -i V * -1 
on obtient, multipliant (59) par —et intégrant le résultat entre les limites — 1 et -+-1, 
К® <тѴ) + 2 W) ЩІ' 
De cette inégalité on tire, en tenant compte de (5 5 г ) et (58), 
k®\ < p 
«П-М 
2" Г (и -h 1) \[n+\ 
= Р ж v ^ =1 - - 
p n-4-1 2 n Г (w -h 2) 
où l’on a posé 
P 2 = П -h 2 (^ГГ) < 3 ’ 392 P° ur 
Si l’on désigne maintenant par 
4(0 
l’écart maximum du polynôme П п (ж) de la fonction f{x) dans l’intervalle (—1, -t- 1), on 
peut écrire 
A . 
2 n Г (n -h- 2) 
< 4(0 < p Ц 
\jn-t- 1 
w+1 2 n r(w + 2) 
Ces inégalités montrent que l’ordre d’approximation que fournissent les polynômes de 
la forme П (x) pour les fonctions considérées est au moins égal à 
VwH- 1 
2 n Г (w -b 2) ' 
3au. Фяз.-Мат. Отд. 
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