' ,S w. STEKLOFF. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLEME 
L’ordre ( par rapport à ~) de la limite supérieure trouvée de L' n (f) est donc inférieure 
à celui de la meilleure approximation (Théorème XI). 
Nous ne pouvons pas affirmer que les polynômes de la forme П п (х) fournissent, pour 
les fonctions admettant les dérivées continues jusqu’à l’ordre n -+-1 (ou”moins), une approxi¬ 
mation dont l’ordre est égal à celui de la meilleure approximation. 
A ce point de vue le cas où l’on connaît seulement que la fonction à approcher appar¬ 
tient à la famille O, définie au n°24, conduit, comme nous l’avons déjà dit plus haut, aux 
résultats plus complèts. 
38. Ce dernier cas mérite pour s’en arrêter, en passant, encore une fois. 
Rappelons les propriétés fondamentales du polynôme Ti n (x) correspondant à une fonction 
quelconque de la famille G: 
a) Le polynôme U n (x) représente la somme de пч~ 1 premiers termes du développement 
de la fonction f(x) en série uniformément convergente procédant suivant les polynômes <p (x) 
de Tchébicheff à coefficients formés suivant la loi de Fourier. 
b) Ce polynôme rend , en même temps , minimum l’erreur moyenne quadratique qu’on 
commet en prenant ce polynôme pour Vexpression approchée de la fonction f(x). 
c) L’ordre d’approximation que fournit le polynôme П„ (ж), pour les fonctions de la 
famille considérée ,, est précisément égal à l’ordre de la meilleure approximation. 
Il n’est pas sans intérêt d’y ajouter encore la remarque suivante. 
Dans certains cas particuliers le polynôme II n (x) non seulement fournit une approxima¬ 
tion de l’ordre de la meilleure approximation, mais coïncide, en effet, avec le polynôme de 
degré n s’écartant le moins possible de la fonction f(x). 
Un tel exemple a été indiqué récemment par M. S. Bernstein (Communications de la 
Société Mathématique de Kharkow, T. XIII, 1912) qui a remarqué que cette circonstance a 
lieu pour la fonction de Weierstrass 
(60) f(x ) = 2 o !‘cos b k t = 2 a k %(*), * = cos t, 
si l’on suppose que b est un entier impair satisfaisant aux conditions 
b k <n< b^ 1 . 
Sans entrer dans des détails sur ce sujet, remarquons seulement qu’il en sera de même 
pour toute fonction définie comme il suit: 
Soit 
a o ? а \ч a 2 , - • • ., a n 
une suite de n -+- 1 nombres quelconques. 
