DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 61 
Il faut rappeler que ce problème, dans un cas particulier, a été posé, pour la première 
fois, par Tchébicheff. 
Les recherches, les plus importantes, qui ont conduit à généralisation et à solution des 
plusieurs questions qui s’y rattachent, appartiennent à M. A. Markoff ainsi qu’à Stieltjes 
et à Tchébicheff lui même. 
Quelques contributions importantes à certains résultats de Tchébicheff ont été données 
ensuite (en 1892) par M. N. Sonine 1 ). 
L’exposition détaillée des méthodes de la solution du problème le lecteur peut trouver 
dans un bel ouvrage de M. K. Possé: «Sur quelques applications des fractions continues 
algébriques». (St.-Pétersbourg, 1886). 
Le problème des moments est susceptible de plusieurs applications importantes; nous 
nous arrêtons à celle qui conduit à la solution de la question suivante: 
((7). Soient f(x) et f x (x) deux fonctions quelconques ; on sait seulement qu’elles restent 
non négatives dans l’intervalle donné (a, b) et satisfont à l’infinité d’équations: 
a,. 
= j x k f(x) dx — J* x k f (x) dx. 
№ = 0,1,2.) 
Peut on en conclure que 
x 
x 
J f(x)dx = J /j (x) dx 
a 
a 
pour toute valeur de x comprise enty'e a et b 1 )? 
Il est aisé de comprendre que ce dernier problème peut être considéré comme un cas 
limite du problème des moments, lorsque le nombre p. devient infini, et qu’il est équivalent 
au problème suivant: 
(D). Les valeurs des intégrales 
ь 
(62) v- k = J x k f{x)dx 
a 
étant données pour toutes les valeurs dek=0 , T, , trouver la valeur de l’intégrale 
X 
j f(x) dx 
a 
pour chaque valeur' de x comprise entre a et b. 
i) Voir à cet égard, par exemple, le Mémoire de M. A. Markoff: «Sur les valeurs limites des intégrales». 
Bulletin de l’Académie lmp. des Sciences de St.-Pétersbourg, T. ІГ, Л* 3, mars 1895. 
