(>- w. STEKLOFP. QUELQUES APPLICATIONS NOUVELLES DE LA THÉORIE DE FERMETURE AU PROBLÈME 
40. Le problème (G), à condition que les fonctions f(x) et fi{x) ne deviennent jamais 
négatives dans (a, b ), est complètement résolu par les recherches de M. A. Markoff et 
Stieltjes sous certaines hypothèses très générales. 
On suppose seulement que les intégrales 
ъ 
I x k f(x)dx 
existent, sans supposer que la fonction f(x ) soit nécessairement intégrable (au sens de 
Riemann) dans l’intervalle (a,b). 
Nous allons montrer que la solution d’une question analogue à ( G) [ou à celle de (Л)] 
résulte presqu’immédiatement de la définition même de fermeture des suites fermées de fonc¬ 
tions orthogonales. 
Nous avons en vue le problème suivant: 
{E). Soient f[x) et fi(x) deux fonctions quelconques ; on sait seulement qu’elles soient 
intégrables {au sens de Biemann ou même au sens de M. Lebesgue ) dans l’intervalle donné 
{a, b) et satisfont à l’infinité d’équations 
ъ b 
u k = j x k f(x) dx = J x k fi (: x ) dx. 
a a 
Prouver qu’on a toujours , dans ces conditions , 
X X 
J f{x) dx = J fi {x) dx 
« a 
pour chaque valeur de x comprise entre a et b. 
Nous introduisons ainsi une condition restrictive sur Pintégrabilité des fonctions, ce 
qui amoindrit, sans doute, l’intérêt de la question, mais, en revanche, nous nous affranchons 
de l’autre restriction du problème (G) qui exige que les fonctions, dont il s’agit, ne changent 
pas leur signe dans l’intervalle donné. 
C’est a cause de cette dernière circonstance, de la simplicité de la méthode et de sa 
liaison intime avec nos recherches précédentes que je me permets, en terminant ce travail, 
de faire quelques remarques relatives au problème (E) que nous venons d’énoncer. 
