DE REPRÉSENTATION APPROCHÉE DES FONCTIONS PAR DES POLYNOMES ET AU PROBLÈME DES MOMENTS. 67 
44. Les résultats précédents s’étendent à certains cas où l’une ou même toutes les 
deux des limites a et Ъ deviennent infinies. 
Cette circonstance aura, par exemple, lieu pour toute suite fermée de fonctions orthogo¬ 
nales et normales Ф А (*) (Л; = 0, 1, 2,. . . .), complètement déterminées dans les intervalles 
(69) (a, -t- oo) 
ou 
(70) 
(-OO, H- oo), 
pourvu qu’une fonction f(x) satisfasse à la condition que les intégrales 
oo 
oo 
j P (x)f ( x ) dx et J p ( x) f 2 ( x ) dx. 
a 
a 
dans le premier cas [l’intervalle (69)], ou les intégrales 
-b CO 
+ CO 
jp(x)f (x) dx et jp (x) f 2 (x) dx, 
-oo 
— CO 
dans le second cas [l’intervalle (70)], aient un sens bien déterminé. 
On peut indiquer, pour un exemple, les polynômes de Tchébicheff, définis par les équa¬ 
tions 
(71) 
et 
(72) 
OO 
j" (x — àf e~ a ( x — °) Ф к (x) P k _ x ( x) dx = 0, 
a 
p(x) — (x — af e~ a (®—«) 
-+-0O 
j e— a ( x + P) 2 Ф к (x) P k _ x (x) dx = 0, 
—oo 
p(x) = е~ а ( жн "Р) 2 , 
où P k _ x (x) est un polynôme arbitraire de degré — 1, a, (3 et a sont des constantes don¬ 
nées dont la première est positive, la seconde est plus grande que — 1. 
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