Le problème dont il s’agit ici est celui de certaines ligures d’cquilibre d’uue masse 
fluide homogène dont les éléments s’attirent mutuellement suivant la loi de Newton et qui 
tourne uniformément autour d’un axe. 
On sait que, si la vitesse angulaire ne dépasse pas une certaine limite, la figure d’équi¬ 
libre peut être ellipsoïdale. 
En entendant par со la vitesse angulaire, désignons cette limite par со". 
Tant que со < со", on a deux figures d’équilibre sous forme des ellipsoïdes de révo¬ 
lution qui sont connues sous le nom des ellipsoïdes de Maclaurin. Si d’ailleurs со est infé¬ 
rieur à une certaine autre limite, со' < со", on a encore une figure d’équilibre sous forme 
d’un ellipsoïde à trois axes inégaux, figure découverte par Jacobi. 
Ces figures varient continûment avec со. Quand со croît de zéro à со', l’ellipsoïde de 
Jacobi et celui des ellipsoïdes de Maclaurin qui est moins aplati se rapprochent de plus en 
plus l’un de l’autre et se confondent pour со = со'. Si со continue de croître, on n’a que deux 
figures ellipsoïdales d’équilibre, celles de révolution, qui se rapprochent constamment l’une 
de l’autre et se confondent pour со == со". Quant aux vitesses angulaires supérieures, il 
n’existe point de figures d’équilibre sous forme des ellipsoïdes. 
L’ensemble des ellipsoïdes de Maclaurin constitue ainsi deux séries de figures d’équi¬ 
libre variant continûment avec la vitesse angulaire. L’ensemble des ellipsoïdes de Jacobi 
en constitue une troisième*). Pour les valeurs со' et со" de со on peut passer de l’une de ces 
trois séries à l’une des deux autres. 
La question se pose naturellement s’il existe d’autres pareilles séries de figures d’équi¬ 
libre auxquelles on pourrait passer des séries ellipsoïdales pour certaines valeurs de la vitesse 
angulaire. Surtout il serait intéressant de le reconnaître pour la valeur со" de со , au-delà 
de laquelle les figures ellipsoïdales d’équilibre cessent d’exister. 
C’est la question dont je me suis occupé autrefois sur l’invitation de l’illustre Tcheby- 
chef, qui l’avait proposée aussi à d’autres savants russes. 
D’une manière générale, la question peut être posée ainsi: 
On considère une quelconque des figures ellipsoïdales d’équilibre. Désignons cette 
figure par E et la vitesse angulaire qui lui correspond, par со. On donne à cette vitesse un 
*) A un certain point de vue, l’ensemble des ellipsoïdes de Jacobi peut être considéré comme constituant deux 
séries de figures d’équilibre. Mais il est inutile de nous placer ici à ce point de vue. 
Зап. Фнз.-Мат. Отд. 
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