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A. Liapounoff. 
accroissemeut assez petit z, et l’on demande si, pour la vitesse angulaire со e, il existe 
des figures d’équilibre, autres que les ellipsoïdes, qui, eu variant continûment avec z, se con¬ 
fondent, pour z = O, avec l’ellipsoïde E. 
Tchebychef avait surtout en vue le cas de со — со". Mais la question peut également 
être posée pour toute autre valeur de со qui ne surpasse pas со". 
En me proposant cette question, Tchebychef a exprimé l’opinion que c’est la méthode 
des approximations successives qui doit conduire à la solution, mais que la difficulté consiste 
dans la formation des équations d’où dépend l’évaluation de ces approximations. 
Dès que je me suis mis à l’étude de cette question, j’ai reconnu que la formation de 
l’équation qui doit donner la première approximation ne présente aucune difficulté, et en 
l’étudiant je suis parvenu à pouvoir définir toutes les figures ellipsoïdales, ou toutes les 
valeurs de со, pour lesquelles cette équation peut être vérifiée. Quant aux approximations 
ultérieures, je me suis heurté à des difficultés que je n’ai pu surmonter à l’époque dont il 
s’agit (1882—1883). 
J’ai été donc arrêté dès le début de mes recherches, et en espérant y revenir plus tard, 
je me suis borné à publier le résultat relatif à la première approximation, ce que j’ai fait 
dans le Mémoire Sur la stabilité des figures ellipsoidales d'équilibre d'un liquide animé d'un 
mouvement de rotation *), en énonçant ce résultat comme il suit: 
Étant donné un entier n quelconque, surpassant 2, on peut trouver E ^ -+- 2 surfaces 
algébriques d’ordre n infiniment voisines de celles des figures ellipsoïdales d’équilibre et 
vérifiant, à une première approximation, la condition d’équilibre. Parmi les figures déli¬ 
mitées par ces surfaces, une est infiniment voisine d’un ellipsoïde de Jacobi, et les E y -+-1 
autres sont infiniment voisines des ellipsoïdes de Maclaurin. 
Si de nouvelles figures d’équilibre, voisines de celles ellipsoïdales, existent, elles seront 
représentées, dans la première approximation, par les figures à surfaces algébriques dont il 
s’agit ici. Et c’est tout ce qu’on pouvait dire a priori; car, d’uue part, en passant aux 
approximations ultérieures, on pourrait être arrêté par l’impossibilité de satisfaire à certai¬ 
nes équations, et, d’autre part, si même on pouvait pousser les calculs aussi loin qu’on 
veut, on ne pourrait rien conclure sans l’examen de la convergence des approximations 
successives. 
Une année après, M. Poincaré publia, dans les Comptes rendus, les résultats de ses 
recherches sur la même question, en annonçant qu’il a découvert une infinité de nouvelles 
figures d’équilibre. Ces recherches ont été ensuite publiées dans le Mémoire connu Sur 
Г équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation , qui parut en 1886 dans 
les Acta Mathematica (t. 7, 1885). 
*) Ce Mémoire, qui parut en 1884 en russe, est maintenant traduit en français, grâce à M. Davaux. 
Cette traduction a paru l’année dernière dans les Annales de la Faculté des Sciences de V Université de Toulouse 
(t. YI, 1904). 
