Sue un рвовііме de Tchebtchef. 
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Daus ce Mémoire, ayant trouvé la première approximation, M. Poincaré, non plus 
que moi, ne cherche à pousser les approximations plus loin. Mais il croit possible d’en con¬ 
clure l’existence réelle de nouvelles figures d’équilibre, en se basant sur certaines considé¬ 
rations relatives au cas d’un système matériel dont la position est définie par un nombre 
limité de variables et en cherchant ensuite à étendre ces considérations au cas d’un liquide. 
Or on ne peut le faire que par des raisonnements peu rigoureux. Ce n’est donc pas une 
démonstration; c’est plutôt une extension par analogie, et M. Poincaré lui-même semble 
l’avouer lorsqu’il dit: «il y aurait bien des objections à faire, mais on ne saurait exiger en 
mécanique la même rigueur qu’en analyse pure pour ce qui concerne l’infini». 
Moi je ne suis pas de cet avis. Je crois que, s’il est permis parfois de se servir des 
considérations vagues, lorsqu’on veut établir un nouveau principe, qui ne résulte pas logi¬ 
quement de ce qu’on a déjà admis, et qui, par sa nature, ne peut être en contradiction avec 
d’autres principes de la Science, il n’est plus permis.de le faire, dès qu’on a à résoudre un 
problème déterminé (qu’il soit de la Mécanique ou de la Physique), qui est posé d’une 
manière entièrement précise au point de vue mathématique. Ce devient alors un problème de 
l’Analyse pure, et l’on doit le traiter comme un tel. 
Aussi je ne puis regarder les recherches de M. Poincaré, toutes ingénieuses qu’elles 
sont, comme apportant la solution du problème. Et en effet, les difficultés inhérentes au pro¬ 
blème, et qui proviennent de ce qu’on a affaire à un liquide et à la loi de l’attraction de 
Newton, ne s’y trouvent point touchées. 
Pendant les vingt années qui se sont écoulées depuis l’époque dont il s’agit, je n’ai pas 
eu l’occasion de m’occuper de cette question, et c’est, seulement en 1903 que j’y suis revenu. 
Mais avant d’aborder cette question elle-même, j’ai cru utile de m’arrêter d’abord à une 
autre question analogue, qui me paraissait plus facile à résoudre. Je parle du problème de 
Legendre sur la figure d’équilibre peu différente d’une sphère pour une masse fluide hété¬ 
rogène tournant très lentement autour d’un axe. 
Bien que ce problème fût l’objet d’un très grand nombre de recherches, il n’était pas 
encore résolu complètement, car, d’une part, pour établir les équations qui servent à cal¬ 
culer les approximations successives, on employait des considérations peu rigoureuses et, 
d’autre part, il n’était point établi que la suite des approximations successives converge, 
même pour des valeurs très petites de la vitesse angulaire. 
J’ai réussi à combler ces lacunes dans un travail dont j’ai publié une partie dans le 
Mémoire Recherches dans la théorie de la figure des corps célestes (Mémoires de VAcadémie 
des Sciences de St.-Pétersbourg, VIII e série, vol. XIV, № 7). 
Ce qui assura le succès, c’est surtout l’idée de considérer, outre la fonction inconnue 
qui figure dans l’équation du problème, encore ses dérivées partielles dont l’une ne figure 
point dans cette équation. 
Dès que je suis ainsi arrivé au but dans le problème de Legendre, la voie tut ouverte, 
et j’ai pu aborder le problème de Tchebychef que l’on pouvait traiter par la même 
