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A. Liapoünoff. 
méthode. Et en effet, en suivant la même voie, je suis parvenu, ici encore, à pouvoir présenter 
l’équation fondamentale du problème sous une forme permettant de chercher la fonction in¬ 
connue soit par des approximations successives, soit par des séries. Je présente cette fonction 
sous forme d’une série procédant suivant certaines puissances de l’accroissement de la vitesse 
angulaire, et je me suis persuadé que l’évaluation des termes de cette série conduit à des 
calculs toujours exécutables. On pourra ainsi pousser l’approximation aussi loin qu’on veut. 
Mais il fallait encore examiner la question de la convergence. Je l’ai fait aussi, eu me ser¬ 
vant de la même méthode que j’ai employée dans le problème de Legendre. Ainsi je suis 
parvenu à établir en toute rigueur l’existence de ces ligures d’équilibre qui n’étaient connues 
si longtemps que par une première approximation. 
C’est ici le lieu de citer le Mémoire intéressant Sur la stabilité des figures pyriformes 
affectées par une masse fluide en rotation, que M. Poincaré a publié il y a trois années 
dans les PJiil. Transactions (A, vol. 198). 
Si l’on admet avec M. Poincaré que la première approximation connue, dans le pro¬ 
blème des figures d’équilibre voisines des ellipsoïdes, est réellement une approximation à 
certaines nouvelles figures d’équilibre, on aura, parmi les séries de ces figures, une à laquelle 
on peut passer des ellipsoïdes de Jacobi eu donnant à la vitesse angulaire la plus petite 
parmi les valeurs qu’elle peut recevoir pour les ellipsoïdes de Jacob i stables. C’est les figu¬ 
res de cette série que M. Poincaré appelle pyriformes, et dans le Mémoire dont il s’agit il 
cherche à reconnaître si ces figures, tant qu’elles sont suffisamment voisines des ellipsoïdes, 
sont stables. A cet effet, il a dû calculer la deuxième approximation, et il y a réussi à l’aide 
d’une méthode très ingénieuse qui est fondée sur la considération du potentiel d’une double 
couche. Toutefois cette méthode ne semble pas permettre d’aller au-delà de la deuxième 
approximation, du moins, sans le secours des considérations qui font l’essence de ma méthode, 
et qui rendent inutile l’introduction de la double couche de M. Poincaré. 
En ce qui concerne la question de stabilité, M. Poincaré se borne à la formation 
d’une certaine inégalité*), mais il ne cherche pas à l’examiner. Un examen de la condition 
de stabilité a été fait ensuite par M. Darwin, qui a publié, dans le même Recueil, un Mé¬ 
moire sur le même sujet **), en le traitant par une méthode toute semblable à celle de 
M. Poincaré. 
*) M. Poincaré exprime la condition nécessaire et suffisante de la stabilité par l’inégalité 
(a) X < 0. 
Ce n’est pas exact. D’après ce que dit M. Poincaré lui-même, cette condition doit être exprimée ainsi: 
(ß) T - ^ > 0. 
Comme T et У sont des nombres négatifs, il est évident que l’inégalité (a) peut être satisfaite sans que l’in¬ 
égalité (ß) le soit. 
J’ajouterai que, dans l’expression de X (voir la page 372), on doit changer le signe du terme 2H', ce qui aura 
une certaine influence sur la conclusion à laquelle M. Poincaré arrive à la fin de son Mémoire. 
**) The Stability of the Pear-Shapcd Figure of Equilibrium of и llotating Mass of Liquid (Phil. Trans., A, 
vol. 200, 1903). 
