Sur un problème de Tchebychef. 
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Cette équation, à elle seule, ue suffit pas pour déterminer complètement la fonction Ç, 
et si on veut le faire, on doit introduire encore certaines conditions complémentaires. 
Parmi les conditions de cette espèce que Гоп peut admettre sans restreindre la géné¬ 
ralité, je signalerai celles-ci: 
1°. Le volume de la nouvelle figure est égal à celui de l’ellipsoïde considéré; 
2°. Le centre de gravité de ce volume se trouve à l’origine des coordonnées; 
3°. Les axes des x et des y sont des axes principaux d’inertie de ce volume (l’axe des z , 
qui est celui de rotation, le sera, comme on sait, toujours en vertu de l’équation elle-même). 
Si l’ellipsoïde considéré a ses trois axes inégaux, ces conditions suffiront. Mais dans le 
cas d’un ellipsoïde de révolution, la troisième condition sera, en général, remplie d’elle-même, 
et l’on devra introduire une autre qui sera signalée plus loin. 
2. Pour pouvoir aborder le problème, on doit commencer par développer U suivant 
les termes de divers ordres par rapport à Ç, ce que l’on pourra faire, dans des suppositions 
assez générales, par une méthode analogue à celle que j’ai employée dans le Mémoire 
Recherches dans la théorie de la figure des corps célestes. 
Je supposerai que ‘( soit une fonction continue de Ѳ et admettant les dérivées 
K oj, 
дв' ()ф> 
et que, pour les valeurs absolues des fonctions 
Y d l d S 
dO f sinG <Эф’ 
on puisse assigner des limites supérieures ne dépendant que de ri et tendant vers zéro pour 
Y) = 0. 
Cela posé, dans l’expression de U, remplaçons *( par z'(, z étant un paramètre arbi¬ 
traire, et le résultat, considéré comme fonction de z, désignons par U(z). 
J’ai reconnu que, dans les suppositions ci-dessus, la fonction U(z) est développable 
suivant les puissances entières et positives de z en une série absolument et uniformément 
convergente pour toutes les valeurs de 0 et ф, tant que j z\ reste au-dessous d’une certaine 
limite E dépendant de y). 
Swt U (e) = U 0 -+- U,z -+- U 2 z* -+- C7 3 e 3 -+- . . . 
ce développement. 
Comme la limite E peut être rendue aussi grande qu’on veut, en faisant |y) | suffisam¬ 
ment petit, on peut supposer E 1. Alors, en posant z = 1, on aura le développement requis 
U = U 0 -4- TJ l -+- U 2 -+- i7 3 -+■ 
qui sera ainsi absolument et uniformément convergent, tant que | y) | est assez petit. 
