8 
A. Liapoünoff. 
Si l’on regarde '( comme une petite quantité du premier ordre, le terme U n dans ce 
développement sera du w eme ordre. 
On peut donner, pour les Z7 n , des expressions explicites. Mais il serait inutile de les 
reproduire ici. Signalons seulement l’expression que l’on obtient pour U l , en tenant compte 
des équations qui expriment les conditions d’équilibre pour l’ellipsoïde considéré. 
Nous introduirons les notations suivantes: 
P (p -+- î) sin 2 0 cos 2 ф -ь p (p -4- 1) sin 2 0 sin a ф (p 1 ) (p -+- q) cos 2 0 = H , 
У ?(?-*- !)(p-*-î) = A, 
/»GO 
d p 
рД 
p 
= Il 
» 
et nous désignerons par 1) la distance entre deux points de la surface de l’ellipsoïde consi¬ 
déré ayant pour coordonnées respectivement 
У p -+-1 sinG cos ф , У p —h q sin0 sin ф, VpcosO, 
У p -t- 1 sin G' cos ф', Ур -I- q sin G' sin ф', У p cos 0'. 
Puis, en considérant 0 et ф comme coordonnées polaires sur la surface de la sphère de 
rayon 1 ayant pour centre l’origine des coordonnées, nous désignerons un élément superficiel 
de cette sphère soit par de, soit par dn\ suivant qu’il se rapporte au point (ô, ф), ou au 
point (Ѳ', <]/). 
Avec ces notations, en entendant par ‘(', H' ce que deviennent //, lorsqu’on y rem¬ 
place 0, ф par 0', ф', nous aurons 
l’intégrale étant étendue à toute la surface de la sphère. 
Cela posé, reportons-nous à l’équation (2). 
Comme, par la condition d’équilibre de notre ellipsoïde, on aura 
U 0 -+- O 0 (p -+- cos 2 ф -f- q sin 2 ф) sin 2 0 = const., 
cette équation se réduira à 
(3) ПЩ — i f = 4 W-t- const., 
OÙ 
W = y) (p -t- cos 2 ф -+- q sin 2 ф -f- ’() sin 2 0 -+- U 2 h- C/g -+- 
* ♦ » 
