Sur un problème de Tchebychef. 
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Telle est la forme définitive de l’équation fondamentale qui doit donner la solution 
du problème. 
3. En partant de l’équation (3), on pourra chercher la fonction '( par des approxi¬ 
mations successives, ou par des séries. 
J’ai cherché cette fonction sous forme de la série 
(4) С = ... 
procédant suivant les puissances entières d’un paramètre x dépendant de y). 
A l’égard de x je me suis arrêté à la supposition que c’est une certaine puissance de y) 
et, pour ne pas introduire des quantités imaginaires, j’ai posé 
(5) *‘ = Ы, 
X étant, un nombre positif fixe. 
Après qu’on aura trouvé toutes les solutions sous la forme précédente, on pourra cher¬ 
cher s’il existe des solutions ne se développant pas en de pareilles séries. Je n’ai pas encore 
examiné cette question, dont je me propose de m’occuper dans un des Mémoires ultérieurs. 
Quant à présent, je me bornerai à la considération des solutions de la forme indiquée. Si 
donc je dirai que, dans un tel ou tel cas, le problème n’a pas de solution, cette assertion 
signifiera seulement qu’il n’y a pas de solutions qui puissent être représentées par des séries 
de la forme (4), quelle que soit la valeur qu’on veut attribuer à X dans l’égalité (5), 
qui sera toujours sous-entendue. Il va sans dire que je ne parlerai que des solutions 
réelles. 
En ce qui concerne le nombre X, on voit facilement, par l’expression de W dans 
l’équation (3), que ce ne peut être qu’un nombre entier. On aura donc à considérer successi¬ 
vement les hypothèses: 
X = 1, X = 2, X = 3, .... 
Il est évident qu’cà toute solution, obtenue dans l’hypothèse X = w, correspondra une 
solution dans l’hypothèse X = Nn, N étant un entier quelconque, qui représentera la môme 
figure d'équilibre. De pareilles solutions seront considérées comme identiques. Avec cette con¬ 
vention, on pourra dire que, pour toute solution, le nombre X admettra une certaine limite 
inférieure. 
Dans tous les cas que j’ai discutés complètement, et ce sont les cas de tous les ellipso¬ 
ïdes de Maclaurin et d'une infinité des ellipsoïdes de Jacohi, cette limite inférieure est 
égale soit à 1, soit à 2. Donc, dans tous ces cas, la fonction '( se présentera sous forme d’une 
série procédant suivant les puissances entières, dans les uns cas, de y), dans les autres, 
de У Y] . 
Ф«з.-Мат. Отд. 
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