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A. Liapoünoff. 
Eu admettant pour '( l’expression (4), je suppose que les fonctions £ x , 'C 2 , C 3 , ... admet¬ 
tent les dérivées partielles par rapport à 0 et ф , et que d’ailleurs on peut trouver les trois 
suites indéfinies de nombres positifs 
K: 
^2 ’ 
CO 
"-O 
• • • > 
(h, 
Oï > 
9z i 
... j 
K, 
К, 
K i 
• • • > 
telles que l’on ait, quels que soient 0 et ф, 
ni 
< i, 
i > 
d li 
dO 
< 9i, 
I d Si 
] sin ѳ аф 
< h 
i > 
pour toutes les valeurs de i , et que les séries 
/j X -4— X 2 —I— l 3 X 3 —I— y 
</,х —i— ^x ^/ 3 x h— . . , 
/îj X -4— X 2 -4— /îg X 3 -4— . . . 
soient convergentes pour des valeurs assez petites de x. 
Dans ces suppositions, on peut établir que, x étant assez petit, la fonction W dans 
l’équation (3) sera développable suivant les puissances entières de x. 
Soit donc 
W = W x x -4- W 2 x 2 -4- JEgX 3 -4- . . . 
ce développement, qui n’aura pas évidemment de terme indépendant de x. 
D’après cela, l’équation (3), qui doit être vérifiée pour toutes les valeurs assez petites 
de x, conduira à une suite indéfinie des équations de la forme 
( 6 ) 
RH'C — A- 
î 
4tc 
H'Vndc' 
D 
A \y 
2 n 
const. 
Dans la première de ces équations, celle qui correspond à n — 1, on aura: 
pour X > 1, W x — 0, 
pour X = 1, W j = ± (p cos 2 ф -+- q sin 2 ф) sin 2 Ѳ , 
où l’on doit prendre le signe supérieur dans le cas de y) > 0 et le signe inférieur dans le 
cas de ïi < 0. 
