Sur un problème de Tchebtchef. 
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Ainsi W x sera une fonction connue de 0 et ф. 
Quant aux autres W t , on voit facilement que, pour toute valeur donnée de n, W n ne 
dépendra que des fonctions 
(7) 
Ci, Ç., Ç 
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Par suite, les équations (6) permettent de calculer successivement 
Si, 
*2 5 
En ce qui concerne les trois conditions dont nous avons parlé à la fin du n° 1, elles 
donneront, pour les intégrales 
j Н"С п сІ<7, J H 'C n cos Ѳ da , I H 'C n sin 2 Ѳ cos ф sin ф de 
(où l’intégration s’étend à toute la surface de la sphère), des expressions qui ne dépendront 
encore que des fonctions (7). Pour n — 1, ces intégrales seront égales à zéro. 
4. Dans le cas de q < 1, nous nous servirons, outre les variables Ѳ et ф, encore des 
variables p., v définies par les formules 
У 1 — p. 2 У 1 — v a = У 1 — q sin Ѳ cos ф , 
Vq — pi 2 Уѵ 2 — q = Vq( 1 — q) sinO БІпф, 
p. v = q cos 0 , 
et représentant ainsi les coordonnées elliptiques sur la surface de notre ellipsoïde. 
Nous nous servirons aussi des fonctions de Lamé des arguments p., v, en rattachant ces 
fonctions à l’équation différentielle 
У(ж 2 — l)(æ 2 — q) ^ [У(ж 2 — 1)(ж 2 — q) d £\ -+- [ß — m (m -+- 1) æ 2 ] y = 0, 
où m est un entier positif et ß une constante que l’on devra déterminer de telle manière que 
cette équation admette une solution sous forme d’une fonction entière de degré m des 
quantités 
(8) x, Уж 2 — 1, У ж 2 — q. 
On sait que, pour toute valeur donnée de m, il y a 2 m -+- 1 valeurs de ß satisfaisant 
à cette condition, et que ces valeurs, toujours réelles, sont toutes inégales, tant que q n’est 
égal à aucune de ses limites, 0 et 1. 
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