SüR UN PROBLÈME DE TCHEBYCHEF. 
15 
Or, parmi ces quantités, il y a une qui est toujours identiquement nulle: c’est T 10 . 
D’ailleurs, si q < 1, on a encore 
^ 2 ,з = 0, 
ce qui est l’équation transcendante, par laquelle sont liés p et q dans le cas des ellipsoïdes 
de Jacobi. 
En ce qui concerne les autres T ls , ils ne seront pas nuis en général. Mais ils peuvent 
s’annuler pour certaines valeurs de p. 
Supposons d’abord que p n’a aucune de ces valeurs spéciales. 
Alors l’intégrale (9) sera connue et aura une valeur parfaitement déterminée pour toutes 
les combinaisons des valeurs de l et de s, qui ne se réduisent pas, dans le cas de q — 1, à 
l’une de ces deux 
1) 1 = 0, s = 0, 2) 1=1, s = 0 
et, dans le cas de q < 1, à l’une de ces trois 
1) 1=0, s = 0, 2) 1=1, s= 0, 3) 1=2, s = 3. 
Quant à ces combinaisons, on pourra déterminer l’intégrale (9), en admettant les trois 
conditions complémentaires du n° 1. Mais, pour que le problème soit possible, on doit avoir 
« 
f Г„Я Іі0 (|л)Е, і0 (ѵ) de = 0 
et, en outre, si q < 1, 
]' = 0. 
On peut montrer que ces égalités, qui peuvent être écrites ainsi 
J W n cosO di = 0, J' W n sin 2 0 cos ф sin^da = 0, 
seront toujours remplies d’elles-mêmes. 
Ainsi l’on voit que l’équation (6) avec les trois conditions du n° 1 permettent de dé¬ 
terminer toutes les intégrales de la forme (9), et cela suffit pour définir complètement la 
fonction 'Ç n , qui est supposée continue *). 
Donc, si l’on admet les conditions du n° 1, on aura, pour tous les 'C n , des valeurs par¬ 
faitement déterminées. 
On en conclut que, si tous les T l s , autres que T^ 0 et, dans le cas de q <C 1, autres que 
T , sont différents de zéro, on ne pourra obtenir aucune figure d’équilibre, outre la figure 
ellipsoïdale qui correspond àü = O 0 н- y]. 
*) Voir le Mémoire Eccherches dans la théorie de la figure des corps célestes, page 21 (Mem. de VAcad. des 
Sciences de St.-Pétersbourg, vol. XIV, № 7). 
